Mostrando un anillo es DVR

Question

Aquí $k$ es algebraicamente cerrado de campo.

Considere la posibilidad de $R=k[x,y,z]/(x^2+y^2+z^2-1)$ $\mathfrak p=(x+iy,z-1)/(x^2+y^2+z^2-1)$ un primer ideal de $R$. Quiero mostrar que la $R_{\mathfrak p}$ es un DVR.

Yo sé que un anillo de $A$ es DVR iff $A$ es Noetherian, locales, unidimensional y normal.

Un anillo que se llama un círculo normal iff localización en cada uno de sus principales ideales dar integralmente los dominios cerrados.

Claramente $R_{\mathfrak p}$ es un Noetherian anillo local. Ahora $\dim R_{\mathfrak p}=\operatorname{ht}\mathfrak{p}=\dim R-\dim R/{\mathfrak{p}}$. Aquí $R/\mathfrak{p}\cong k[x]$. Por lo tanto $\dim R_{\mathfrak p}=1$. Por lo que es suficiente para mostrar que el $R_{\mathfrak p}$ es un timbre normal.

Claramente cualquier integralmente cerrado de dominio es un timbre normal. Por lo que es suficiente para mostrar que este anillo es integralmente cerrado. Estoy atrapado aquí. ¿Cómo puedo demostrar que $R_{\mathfrak p}$ es integralmente cerrado?

Gracias de antemano por la ayuda.

Answer 1

Por la Proposición 9.2 de Atiyah-Macdonald es suficiente para mostrar que el ideal maximal $\newcommand{\m}{\mathfrak{m}} \newcommand{\p}{\mathfrak{p}} \m := \mathfrak{p} R_\mathfrak{p}$ $R_\mathfrak{p}$ es la directora. (La proposición en realidad contiene muchos equivalente caracterizaciones: ver aquí un poco más.)

Tenga en cuenta que$0 = x^2 + y^2 + z^2 - 1$$R_\mathfrak{p}$, por lo que $$ (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2 = -(z^2 - 1) = -(z+1)(z-1) \, . $$ Desde $x-iy \notin \p$$-(z+1) \notin \p$, en tanto son las unidades en $R_\p$. Por lo tanto $x+iy$ $z-1$ tanto de los generadores de $\m$: $$ \m = (x+iy,z-1) R_\mathfrak{p} = (x+iy)R_\mathfrak{p} = (z-1)R_\mathfrak{p} $$ por lo $\m$ que es lo principal, como se desee.

(Esta es esencialmente la misma idea que en user45765 comentario.)