Máximo común divisor de dos polinomios en $\Bbb Q[X]$

Question

Deje $a$ $b$ ser de dos polinomios en $\mathbb{Q}[X]$, donde $$a = X^2+X+1$$ $$b = X - 1$$

Muestran que el $\gcd(a, b) = 1$.

---

Puedo usar el algoritmo de euclides para calcular $\gcd(a,b)$, así que tengo que realizar una división larga en $a$$b$. Esto produjo

$$a = (X+2)(X-1)+3$$ así $q = (X+2)$, e $r= 3$. Desde mi resto, todavía no es igual a $0$, tengo que continuar, pero ahora necesito calcular el $\gcd(b,r) = \gcd(X-1, 3)$.

Después de aplicar la división larga de nuevo, tengo un resto de $0$ y el qoutient ser igual a $\frac{1}{3}X - \frac{1}{3}$. Por lo tanto mi respuesta es la última distinto de cero resto, que es 3. Claramente estoy haciendo un error en alguna parte o faltan algunos pasos en el final de mi cálculo.

Answer 1

Su cálculo es correcto. En los números racionales $3$ es una unidad (tiene una inversa) por lo que es tan buena como $1$ para el máximo común divisor.