Convergencia de una secuencia de sumas binomiales parciales

Question

Tengo una secuencia

$$a_n = (1-p)^n \sum_{\frac{n}{2}\le k \le n} \binom{n}{k} \left( \frac{p}{1-p} \right)^k.$$

Quiero demostrar que $a_n\to 0$ cuando $n\to\infty$ si $0\le p < \frac{1}{2}$ . Aquí hay un gráfico de la secuencia para $p=\frac{1}{3}$ :

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Intento fallido:

$$\begin{align} (1-p)^n \sum_{\frac{n}{2}\le k \le n} \binom{n}{k} \left( \frac{p}{1-p} \right)^k <& (1-p)^n \sum_{0 \le k \le n} \binom{n}{k}\left(\frac{p}{1-p}\right)^k \text{ for } n\ge 1\\ =& (1-p)^n \left(1+\frac{p}{1-p}\right)^n = 1. \end{align}$$

Mi esperanza aquí era terminar con algo como $0.99^n$ en ese último paso por lo que podría argumentar que desde $a_n<0.99^n$ y $0.99^n\to 0$ como $n\to\infty$ , $a_n\to\infty$ . Desgraciadamente salió 1, no $0.99^n$ .

Answer 1

Esta es una pregunta de probabilidad disfrazada. Dejemos que $X$ sea un binomio $(n,p)$ variable aleatoria, por lo que $X$ tiene media $\mu=np$ y la varianza $\sigma^2=np(1-p)$ . Podemos escribir su suma como $a_n=P(X\geq n/2)$ y por La desigualdad de Chebyshev obtenemos $$a_n\leq P\left(|X-\mu|\geq n(1/2-p)\right)\leq {\sigma^2\over n^2(1/2-p)^2}={p(1-p)\over n(1/2-p)^2}.$$ Esto va claramente a cero como $n\to\infty$ .

Podrías hacer ingeniería inversa de esta prueba para eliminar la probabilidad, si fuera necesario.