Demostrar que$x^{2}+2$,$x^{2}-x+4$ y$x^{3}+3x-1$ son irreducibles sobre$\mathbb{Q}$

Question

Permitir que$f$,$g$ y$h$ sean los polinomios dados por:$$f(x)=x^{2}+2$ $$$g(x)=x^{2}-x+4$ $$$h(x)=x^{3}+3x-1$ $ Muestra que$f$, $g$ y$h$ son irreducibles sobre$\mathbb{Q}$.

Hago esto:

$$x^{2}+2=(\sqrt{2}-i x) (\sqrt{2}+i x)$ $, entonces es irreducible sobre$\mathbb{Q}$. $$x^{2}-x+4=4+(-1+x)(x)$ $, entonces es irreducible sobre$\mathbb{Q}$. $$x^{3}+3x-1=-1+x (3+x^2)$ $, entonces es irreducible sobre$\mathbb{Q}$.

¿Es esto cierto?

Muchas gracias.

Answer 1

Vamos a emplear este criterio de Eisenstein.
Este criterio se aplica inmediatamente a$f(x)$$p=2$. También, en la escritura de $g(x+3)=x^2+5x+10$, se podría aplicar el criterio de a$g(x)$$p=5$. Por último, la escritura de $h(x+1)=x^3+3x^2+6x+3$, se vuelve a aplicar el criterio de a$h(x)$$p=3$. Esto termina la prueba.
P. S. también notamos aquí que un polinomio $f(x)$ es reducible si y sólo si $f(x+c)$ es así que para cada constante $c$. Por lo tanto los anteriores razonamientos.

Answer 2

También puede probar el siguiente método alternativo: si$\,p(x)\in\Bbb Q[x]\,$ es reducible, entonces debe ser reducible sobre cualquier campo de campo finito principal$\,\Bbb F_p\cong \Bbb Z/p\Bbb Z\,$. Tómalo

ps

ps

ps

Answer 3

Cualquier factorización no trivial de esos polinomios contendría un factor lineal, lo que implicaría una raíz racional. La prueba de raíz racional muestra fácilmente que no hay raíces racionales.