¿Por qué en de Teorema de Rolle se da la función sea continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y diferenciable en el intervalo abierto $(a,b)$? ¿Qué pasa si tomamos abierto intervalo de continuidad así? Por favor responda si alguien sabe.
Respuestas
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Khushi
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1266
Considerar la función $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$, por
$$\begin{cases} x & 0 \leq x
Tenga en cuenta que $f$ es continua y diferenciable en $(0, 1)$ y $f(0) = f(1)$, % y $f'(x) = 1$ % todo $x \in (0, 1)$; en particular, no hay $c \in (0, 1)$ tal que $f'(c) = 0$.
Como se muestra en el ejemplo anterior, la continuidad en el intervalo abierto sólo es insuficiente para de Teorema de Rolle.
admr
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49
El teorema no tiene. Por ejemplo, considerar la función $f: [0,1] \to \mathbb{R}$
$ f\left(x\right) = \left\ {\begin{array}{lr} x & \text{if} \ x \in (0,1) \ 0 & \text{otherwise} \end{matriz} \right.\ $$
Todas las hipótesis del teorema sostienen (excepto la continuidad en los puntos extremal), pero cada $f'(x)=1$ $x \in (0,1)$.
