Integral $I=\int \frac{dx}{(x^2+1)\sqrt{x^2-4}} $

Question

Francamente, no tengo una solución para esto, ni siquiera incorrecta, pero, esta integral se parece mucho a ese tipo estándar de integral $I=\int\frac{Mx+N}{(x-\alpha)^n\sqrt{ax^2+bx+c}}$ que puede resolverse mediante la sustitución $x-\alpha=\frac{1}{t}$ Así que traté de encontrar tal subtitución que hará que esta integral completamente igual que esta integral estándar para que yo pudiera utilizar la sustitución he mencionado, así que traté de dos sustituciones siguientes

$x^2-4=t^2 \Rightarrow x^2=t^2+4 \Rightarrow x=\sqrt{t^2+4}$ entonces tuve que determinar $dx$

$2xdx=2tdt \Rightarrow dx=\frac{tdt}{\sqrt{t^2+4}}$

de aquí tengo:

$\int\frac{dt}{(t^2+5)\sqrt{(t^2+4)}}$ pero no tengo ni idea de lo que podría hacer con esto, así que traté de sustitución diferente

$x^2+1=t^2$ y luego, aplicando el mismo patrón que utilicé con la sustitución anterior obtuve esta integral

$\int\frac{dt}{t\sqrt{(t^2-1)(t^2-5)}}$ pero de nuevo, no sé qué hacer con esto, así que me vendría bien un poco de ayuda.

Answer 1

Utilice $x=2\cosh t$ por lo que la integral se convierte en $$ \int\frac{1}{1+4\cosh^2t}\,dt= \int\frac{1}{1+e^{2t}+2+e^{-2t}}= \int\frac{e^{2t}}{e^{4t}+3e^{2t}+1}\,dt $$ y, a continuación, establezca $u=e^{2t}$ para que tengas $$ \frac{1}{2}\int\frac{1}{u^2+3u+1}\,du $$ que puede calcularse mediante fracciones parciales.

Answer 2

SUGERENCIA:

Tu integral:

$$\text{I}=\int\frac{1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2-4}}\space\text{d}x=$$

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Sustituto $x=2\sec(u)$ y $\text{d}x=2\tan(u)\sec(u)\space\text{d}u$ .

Entonces $\sqrt{x^2-4}=\sqrt{4\sec^2(u)-4}=2\tan(u)$ y $u=\text{arcsec}\left(\frac{x}{2}\right)$ :

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$$\int\frac{\sec(u)}{4\sec^2(u)+1}\space\text{d}u=\int\frac{\cos(u)}{5-\sin^2(u)}\space\text{d}u=$$

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Sustituir $s=\sin(u)$ y $\text{d}s=\cos(u)\space\text{d}u$ :

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$$\int\frac{1}{5-s^2}\space\text{d}s=\frac{1}{5}\int\frac{1}{1-\frac{s^2}{5}}\space\text{d}s=$$

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Sustituir $p=\frac{s}{\sqrt{5}}$ y $\text{d}p=\frac{1}{\sqrt{5}}\space\text{d}s$ :

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$$\frac{1}{\sqrt{5}}\int\frac{1}{1-p^2}\space\text{d}p=\frac{\text{arctanh}\left(p\right)}{\sqrt{5}}+\text{C}=$$ $$\frac{\text{arctanh}\left(\frac{s}{\sqrt{5}}\right)}{\sqrt{5}}+\text{C}=\frac{\text{arctanh}\left(\frac{\sin\left(u\right)}{\sqrt{5}}\right)}{\sqrt{5}}+\text{C}=$$ $$\frac{\text{arctanh}\left(\frac{\sin\left(\text{arcsec}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}{\sqrt{5}}\right)}{\sqrt{5}}+\text{C}=\frac{\text{arctanh}\left(\frac{\sqrt{x^2-4}}{x\sqrt{5}}\right)}{\sqrt{5}}+\text{C}$$

Answer 3

La curva $t^2=x^2-4$ es una hipérbola, que se puede parametrizar con un único valor. Reescribe esta ecuación como $(x+t)(x-t)=4$ y fijar $y=x+t$ . Entonces $4/y=x-t$ y tenemos $$ x=\frac{y+\frac{4}{y}}{2},\;\;\;\;t=\frac{y-\frac{4}{y}}{2}. $$ Compute $dx=(1/2-2 y^{-2})dy$ y la integral se convierte en $$ \int \frac{dx}{(x^2+1)\sqrt{x^2-4}}=\int \frac{\frac{1}{2}-\frac{2}{y^2}}{\left(\left(\frac{y+\frac{4}{y}}{2}\right)^2+1\right)\left(\frac{y-\frac{4}{y}}{2}\right)}dy=\int \frac{4y\, dy}{y^4+12 y^2+16}. $$ Esto puede calcularse utilizando fracciones parciales.