Cómo encontrar la suma de la serie infinita$\sum \frac{1}{ n(2n+1)}$

Question

ps

¿Cómo encontrar la suma de esta serie?

Intenté esto: su enésimo término será =$$\frac{1}{1 \times3} + \frac{1}{2\times5}+\frac{1}{3\times7} + \frac{1}{4\times9}+\cdots $ después de eso no puedo resolver esto.

Answer 1

En primer lugar, podemos reescribir la suma parcial como una integral $$\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(2n+1)} = 2\sum_{n=1}^N \left(\frac{1}{2n} - \frac{1}{2n+1}\right) = 2\sum_{n=1}^N \int_0^1 (z^{2n-1} z^{2n}) dz\\ = 2 \int_0^1 z(1-z)\left(\sum_{n=0}^{N-1} z^{2n}\right) dz = 2 \int_0^1 \frac{z}{1+z}( 1 - z^{2N} ) dz $$ Aviso de la $N$ dependencia de la pieza sobre RHS puede ser delimitada de arriba $$\left| 2 \int_0^1 \frac{z}{1+z} z^{2N} dz \right| < 2 \int_0^1 z^{2N} dz = \frac{2}{2N+1} \to 0 \quad\text{ como }\quad N \to \infty $$ Tenemos $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(2n+1)} =\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(2n+1)} = 2 \int_0^1 \frac{z}{1+z} dz = 2 (1 - \log 2)$$

Answer 2

Dejar $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{ n(2n+1)}$. Entonces tenemos$$f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{ n}=-\log(1-x^2).$ $ Por lo tanto, dado que f (0) = 0, la suma es igual a \begin{align} s&=-\int_0^1\log(1-x^2)dx\\ &=-2\int_0^{\pi/2}\log(\cos x) \cos x dx\\ &=-2I \end {align} Así que resuelva esta integral,$I$, note primero que$\int_0^{\pi/2}\log(\sin x) \cos x dx=-1$ . Por lo tanto, \begin{align} I&=\int_0^{\pi/2}\log(\cos x) \cos x dx-\int_0^{\pi/2}\log(\sin x) \cos x dx+\int_0^{\pi/2}\log(\sin x) \cos x dx\\ &=\int_0^{\pi/2}\log(\cot x) \cos x dx-1\\ &=\int_0^{\pi/2}\Big(\log(\cot x) \cos x+\sec x -\sec x \Big)dx-1\\ &=\lim_{a\to \pi/2}\int_0^{a}\Big(\log(\cot x) \cos x-\sec x +\sec x \Big)dx-1\\ &=\lim_{a\to \pi/2}\Big(\log(\cot x) \sin x +\log [\cos \frac x2 + \sin \frac x2]-\log [\cos \frac x2 -\sin \frac x2] \Big)-1\\ &=\log2-1 \end{align}

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Answer 3

Su serie se puede escribir como $$ \ frac {H_ {x}} {2x} = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {k \ cdot2 (k + x)} \,, $$ con $x=\frac12$. $H_{\frac12}$ se da aquí: Números armónicos . $$ H _ {\ frac {1} {2}} = 2 -2 \ ln {2}, $$, que es el resultado ...