¿Cuáles son los ejemplos más simples de situaciones en las que en un campo$F$ hay dos subcampos$L_1$ y$L_2$ que las extensiones$F/L_1$ y$F/L_2$ son finitas, los grados son diferentes $$ [F: L_1] \ neq [F: L_2], $$ pero los campos$L_1$ y$L_2$ son isomorfos como campos abstractos.
Respuesta
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Para cualquier campo$k$, y un% indeterminado $t$ sobre$k$, tome$F = k(t)$,$L_1 = F$,$L_2 = k(t^2)$. Entonces$[F : L_1] = 1 \ne 2 = [F : L_2]$, pero como campos abstractos,$L_1 \cong L_2$ (como$L_2$ es el campo de fracciones de$k[t^2]$, que es abstractamente isomorfo a un anillo polinómico en$1$ variable sobre$k$).
