Ruptura de simetría espontánea

Question

En la fractura espontánea de la simetría que tenemos que, un campo de $$\phi= \pm \sqrt{\frac{-m^2}{\lambda}}.$$ Now in order to get the unstable minima we need to guess the mass $m % ^ 2 ¿Por qué estamos adivinando así?

Es una pregunta más, ¿cómo esto nos llevan a la solución de ecuaciones no lineales?

Answer 1

Lo siento,no sigo tus notas en mi respuesta, espero que sea lo suficientemente clara, sin embargo.

La masa puede ser supuesta negativa sin mucho esfuerzo en el Ginzburg-Landau modelo:

$$F=\int dr\left[\dfrac{\beta}{2}\left(\left|\Psi\right|^{2}-\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{2}+\dfrac{1}{2m}\left|-\mathbf{i}\hslash\nabla\Psi\right|^{2}\right]$$

con $\alpha\propto\left(T-T_{c}\right)$ negativo para temperaturas de $T$ por debajo de la temperatura crítica,$T_{c}$. Usted puede llamar a $\alpha$ una misa, si te gusta, pero es un parámetro del modelo en la fac, como $\beta$, ....

El mínimo de la energía libre de $F$ por encima de es $F=0$ dado por

$$\Psi_{\infty}^{2}=\dfrac{\alpha}{\beta}\Rightarrow\Psi_{\infty}=\pm\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}}$$

para los positivos $\alpha$ (así que elige $\alpha\propto\left|T-T_{c}\right|$, de hecho). Se corresponde con el espacio independiente de la configuración del campo de $x\rightarrow\infty$, de tal manera que $\nabla \Psi_{\infty} =0$. Sin embargo, nos damos cuenta de que hay dos configuraciones del campo, $\pm\Psi_{\infty}$.

El próximo supongamos que un dependiente de la posición 1D problema, y el real campo de la sencillez (que no altera la conclusión principal a continuación, pero los cambios de las soluciones exactas). Nos preguntamos a nosotros mismos: hay un espacio dependiente de la solución tiende a $\pm\Psi_{\infty}$ al $x\rightarrow \pm\infty$ ? Bueno, hay dos posibilidades:

• $\Psi\left(x\rightarrow+\infty\right)=\Psi\left(x\rightarrow-\infty\right)=\Psi_{\infty}$ o $\Psi\left(x\rightarrow+\infty\right)=\Psi\left(x\rightarrow-\infty\right)=-\Psi_{\infty}$, en cuyo caso no hay ningún espacio dependiente de la solución

• $\Psi\left(x\rightarrow+\infty\right)=-\Psi\left(x\rightarrow-\infty\right)=\Psi_{\infty}$ , en cuyo caso hay un espacio dependiente de la solución (llamada instanton, o un soliton), que conecta los dos no trivial de los mínimos de la modelo

Ahora nos encontramos con el espacio dependiente de la solución. La ecuación de movimiento debemos verificar es

$$\dfrac{\delta F}{\delta\Psi}=0\Rightarrow\xi^{2}\dfrac{d^{2}\Psi}{dx^{2}}+2\Psi\left(1-\dfrac{\alpha}{\beta}\Psi^{2}\right)=0$$

donde usamos que el campo $\Psi$ es real (de lo contrario el factor 2 en la parte delantera del segundo término desaparece, esta es la simplificación de la hipótesis de encontrar un simple instanton) y donde $\xi=\hbar/\sqrt{2m\alpha}$ es la longitud característica del problema (en la teoría de la superconductividad, se llama la longitud de coherencia). Puede ver que ésta no es una ecuación lineal, por lo que las soluciones son complicadas (cuando se conoce). Aquí, sin embargo, puede mostrar fácilmente que

$$\Psi\left(x\right)=\pm\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}}\tanh\dfrac{x-x_{0}}{\xi}=\pm\Psi_{\infty}\tanh\dfrac{x-x_{0}}{\xi}$$

es la solución que estaban buscando. Usted puede elegir $x_{0}=0$ para la condición inicial. Esta solución sin problemas conecta los dos no trivial de los mínimos de $\pm\Psi_{\infty}$ como se requiere.

El local de la energía (el integrando de a $F$) para esta solución tiene un bulto alrededor de $x_{0}$ de característica tamaño de la $\xi$.