Fuerte identidad trigonometric

Question

Demostrar que %#% $ #%

He conseguido cambiar el % de forma $$\cot 13^o\cot 23^o \tan 31^o\tan35^o\tan41^o = \tan 75^o$$ y de esta forma tenemos la interesante propiedad de que la suma de los argumentos de ambos lados es igual, es decir, 31 +35 +49 = 15 +23 +77. No podía pasar esta etapa, por lo que agradeceria cualquier ayuda.

EDIT: encontré que $$\tan 31^o\tan 35^o\cot 49^o = \cot 15^o\tan 23^o\cot 77^o$. Tal vez alguien puede usar esto para resolver el problema. Yo no he sido capaz. Gracias.

Answer 1

Si $$ A = \tan x, \; \; B = \tan y, \; \; C = \tan z, $ $ después $ de $$ ABC = A+B+C - (1-BC-CA-AB) \tan(x+y+z). $ en su caso, necesita también ser liberal con el uso de $$ \cot t = \tan \left( 90^\circ - t \right) $ $ para obtener el mismo término de $\tan{x+y+z}$ para ambos lados izquierdo y derecho.

Answer 2

Primero convertir todas las proporciones de la mano izquierda en la tangente

Observar que $\tan(5\cdot77^\circ)=\cdots=\tan25^\circ$ etc.

Por lo tanto, vamos a $\tan5x=\tan25^\circ\implies5x=180^\circ n+25^\circ\iff x=36^\circ n+5^\circ$ donde $n$ es cualquier entero

Como la Suma de la tangente a una función donde los argumentos son en específico serie aritmética o este

$$\tan5x=\frac{\binom51\tan x-\binom53\tan^3x+\binom55\tan^5x}{\binom50-\binom52\tan^2x+\binom54\tan^4x}$$

Si $\tan5x=\tan25^\circ,$

$$\tan^5x-\cdots-\binom50\tan25^\circ=0$$

$$\prod_{r=0}^4\tan\left(36^\circ\cdot r+5^\circ\right)=\frac{\tan25^\circ}1$$

$r=0\implies\tan\left(36^\circ\cdot0+5^\circ\right)=\tan5^\circ$

$r=1\implies\tan\left(36^\circ\cdot1+5^\circ\right)=\tan41^\circ$

$r=2\implies\tan\left(36^\circ\cdot2+5^\circ\right)=\tan77^\circ=\cot13^\circ$ $r=3\implies\tan\left(36^\circ\cdot3+5^\circ\right)=\tan113^\circ=-\tan67^\circ=-\cot23^\circ$ $r=4\implies\tan\left(36^\circ\cdot4+5^\circ\right)=\tan149^\circ=-\tan31^\circ$

Por lo tanto, debemos mostrar $$\tan35^\circ\frac{\tan25^\circ}{\tan5^\circ}=\tan75^\circ$$

que es fácilmente disponible a partir de su fórmula poner $x=25^\circ$ mencionado aquí (¿Cómo puedo encontrar los siguientes productos? $ \tan 20^\circ \cdot \tan 40^\circ \cdot \tan 80^\circ.$)