Utilizando el análisis real, cómo podemos mostrar para todas las $x > 0$, $ \frac{2(e^x-(1+x))}{x^2} < e^x$ %

Question

Fui capaz de pensar que el numerador siempre será positivo y dominar el denominador también. Pero no podía proceder de allí.

Answer 1

Sugerencia. Considerar la expansión de series de potencias de $e^x=\sum{k\geq 0}\frac{x^k}{k!}$. Entonces $$e^x-\frac{2(e^x-(1+x))}{x^2}=\sum{k\geq 0}\frac{x^k}{k!}-2\sum{k\geq 2}\frac{x^{k-2}}{k!}=\sum{k\geq 0}\frac{x^k}{k!}-2\sum{k\geq 0}\frac{x^{k}}{(k+2)!}\=\sum{k\geq 1}\frac{x^k}{k!}\left(1-\frac{2}{(k+2)(k+1)}\right).$ $ muestran que los coeficientes de la serie de energía resultante son todas positivos.

Answer 2

Usando las formas del valor medio del resto del Teorema de Taylor usted conseguir la existencia de $c \in (0,x)$ tal que $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}e^c$ $ ahí $$e^x = 1+x+\frac{x^2}{2}e^c

Answer 3

Sugerencia:

Que $f(x)=x^2e^x-2(e^x-(1+x)),x>0.$ entonces $$f^{'}(x)=x^2e^x+2xe^x-2(e^x-1)$ $ y $$f^{''}(x)=x^2e^x+2xe^x+2xe^x+2e^x-2e^x=x^2e^x+4xe^x>0.$ $