Componentes irreductibles del espacio topológico

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico. Sea $\Sigma$ sea el conjunto de componentes irreducibles de $X$ . Dejemos que $X=\cup_{i\in I} X_i=\cup_{j\in J} Y_j$ , $X_i,Y_j\in \Sigma $ para algún conjunto de índices $I,J$ . $X_i$ son distintos entre sí. $Y_j$ son distintos entre sí.

Quiero un ejemplo tal que $X$ tiene dos expresiones distintas, es decir, existen $\{X_i|i\in I\}\neq\{Y_j|j\in J\}$ , de tal manera que $X=\cup_{i\in I} X_i=\cup_{j\in J} Y_j$ .

Algo que sabíamos (pero que no sirve para esta pregunta): $X$ no debe ser uno de los siguientes casos:

1. $X$ es noetheriano, entonces puede ser únicamente escrito como una unión de componentes irreducibles distintos y finitos.
2. $X$ puede escribirse como una unión de componentes irreducibles distintos y finitos, entonces todos los componentes irreducibles de $X$ están en esta expresión, y la expresión es única.
3. $X$ es un esquema, ya que {componentes irreductibles} 1:1 corresponden a {puntos genéricos}. Por tanto, la expresión es única.

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Actualización: 4. Como se ha dicho, si $X$ es Hausdorff, entonces todo conjunto irreducible es un punto único. (Porque $E$ irr. $\Leftrightarrow$ cada dos aperturas no vacías se cruzan).

Gracias.

Answer 1

Esto debería funcionar. Toma el cuadrado $[0,1]\times [0,1]$ con esta extraña topología. Un subconjunto es abierto si es abierto en la topología de Zariski (¡sin puntos genéricos!) de cada segmento vertical, y en la topología de Zariski del segmento horizontal $[0,1]\times\{0\}$ .

Entonces, está claro que los componentes irriducibles son los segmentos verticales y $[0,1]\times\{0\}$ pero para cubrir la plaza basta con usar las verticales.