Considere la posibilidad de $\Bbb R^3$ equipada con la habitual métrica euclidiana y la topología. Y considerar el subconjunto $S^2 := \{ x\in\Bbb R^3\,|\,d(x,0)=1\}\subset\Bbb R^3$ . Supongamos que queremos hacer $S^2$ a de un espacio métrico en su propio nombre, a mí me parece que hay dos maneras distintas de hacerlo. La primera forma sería definir una métrica $\,\overline d:\, S^2\times S^2 \rightarrow \Bbb R\,,\; \overline d(x,y):=d(x,y)\;$ (es fácil demostrar que esta forma una métrica en $S^2$). El problema que tengo con esta definición es que realmente no se asemejan a la distancia que intuitivly pensar en cuando el pensamiento de la esfera (por ejemplo, la distancia entre el norte y el sur-polo 2 en lugar de $\pi$). La otra manera obvia sería la de definir la métrica $\widehat d $ considerando todas las rutas en la esfera entre los puntos y la definición de la distancia como el infimum de las longitudes de los caminos. Esto también define una métrica en $S^2$ y parece ser la forma más intuitiva de hacerlo (la distancia entre el norte y el sur-pole es $\pi$) . Ya que los dos valores no son iguales, mi pregunta es: $\overline d$ $\widehat d$ inducir la misma topología en $S^2$ ? Y si es así, es esto cierto en general para los colectores que están incrustados en $\Bbb R^n$ ?
Respuesta
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Sí lo hacen.
Por definición, la topología de un múltiple encajado debe ser la restricción de la topología del espacio que contiene, por lo que debe ser compatible con la métrica $\overline{d}$.
Para un múltiple de Riemannian en general, el infimum de longitudes de ruta entre dos puntos define una métrica que es compatible con la topología, y esto es precisamente $\widehat{d}$ en su caso.
