Rango de una función valorada ordinal

Question

Si $(X,<)$ es un lineal de orden, entonces vamos a $X^*$ denotar $(X,>)$, vamos a $o(X)$ denotar al menos ordinal que no se incruste en $X$, vamos a $\overline{o}(X)$ denotar $\max(o(X),o(X^*))$.

Estoy tratando de encontrar todos los posibles valores de $\overline{o}$. Aquí está lo que yo sé:

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-$o,\overline{o}$ puede tomar cualquier sucesor de valor, desde la $o(\alpha) = \overline{o}(\alpha) = \alpha+1$ si $\alpha \in Ord$.

-$o$ puede tomar cualquier valor no cero de forma aditiva indecomposable valor, ya que si $0 <\alpha$ es una forma aditiva indecomposable ordinal, a continuación, $o((\sum \limits_{\beta < cf(\alpha)} \varphi(\beta)^*)^*) = \alpha$ donde $\varphi: cf(\alpha) \rightarrow \alpha$ es estrictamente creciente y cofinal.

-El uso de este, uno puede demostrar por inducción que $o$ puede tomar cualquier valor distinto de cero.

-$\overline{o}$ puede tomar cualquier singulares de forma aditiva indecomposable valor, ya que si $\alpha$ es una forma aditiva indecomposable singular ordinal, a continuación,$\overline{o}((\sum \limits_{\beta < cf(\alpha)} \varphi(\beta)^*)^*) = \alpha$. (mismas condiciones que para el $\varphi$)

-El uso de este, uno puede demostrar por inducción que $\overline{o}$ puede tomar cualquier valor singular.

-$\overline{o}$ puede tomar cualquier infinita sucesor, el cardenal valor, ya que si $\alpha$ es un infinito ordinal, y $\mathbb{Q}((X_{\beta})_{\beta < \alpha})$ es el campo de fracciones con $\alpha$ indeterminates andcoefficients en $\mathbb{Q}$, ordenadas de modo que $\mathbb{Q}[X_{\beta}] < X_{\beta}'$ al$\beta < \beta'$,$o(\mathbb{Q}((X_{\beta})_{\beta < \alpha}) = \alpha^+$.

-$\overline{o}$ no toma el valor de $\omega_0$ (es el momento de decir que estoy trabajando en ZFC?) porque si $\overline{o}(X)$ es infinito, $X$ es infinito y por lo que alberga una infinita estrictamente monótona secuencia. Es trivial que no tiene el valor de$0$.

-Armando todo esto, podemos ver que $\overline{o}$ toma al menos cualquier valor, excepto algunos (posiblemente todos) límite regular cardenales.

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No he sido capaz de probar que $\overline{o}$ no tiene ningún otro valor, ni he sido capaz de encontrar un orden lineal cuyas $\overline{o}$ es un límite regular el cardenal. ¿Alguien sabe si el rango de contener algunos límite regular cardenales?

Answer 1

La gama contiene todos los ordinales a excepción de $0, \omega,$ y el débilmente compacto de cardenales.

Una formulación de débilmente compacto cardenal es un cardenal $\kappa$ de tal manera que cada orden lineal de cardinalidad $\kappa$ contiene un aumento o disminución de subsequence de orden tipo de $\kappa$. Entonces si $\overline{o}(X) \ge \kappa$, esto implica $|X| \ge \kappa$, y por lo $X$ tiene una monótona y larga de orden tipo de $\kappa$. Por lo tanto $\overline{o}(X)$ no puede ser $\kappa$.

nombre figurado en la otra dirección: si $\kappa$ es un incontable regular el cardenal que no es débilmente compacto, entonces existe un orden lineal de cardinalidad $\kappa$ que no contiene una monótona y larga de orden tipo de $\kappa$. A continuación, podemos arreglar un bijection $f:X \to \kappa$, y el orden lineal $Y := \sum_{x \in X} f(x) = \bigcup_{x \in X} f(x) \times \{x\}$ va a satisfacer $\overline{o}(Y) = \kappa$.