Conjunto límite de grupos de Klein con variedades cerradas como cociente

Question

Estoy tratando de convencerme a mí mismo de que si $M\cong\mathbb{H}^3/G$ es una 3-variedad hiperbólica cerrada, entonces el conjunto límite $\Lambda(G)$ es igual a toda la esfera de Riemann $S_\infty^2$. Mi idea de la demostración es la siguiente: dado que $M$ es compacta, entonces tiene volumen finito, lo que implica que $G$ debe ser finitamente generado. Esto implicaría, según el teorema de finitud de Ahlfors, que el cociente del conjunto regular $\Omega(G)=S^2_\infty\setminus \Lambda(G)$ debe ser una superficie de Riemann con un número finito de componentes y un número finito de perforaciones. Por otro lado, podemos identificar la frontera (conformal) de $M$ con $\Omega(G)/G$ y, por lo tanto, por la cerradura de $M$, $\Omega(G)$ debe ser vacío y $\Lambda(G)$ es toda la esfera.

La única parte que me hace dudar es la relacionada con la frontera conforme: ¿podría tratar la frontera conforme exactamente como si fuera la frontera de la 3-variedad $M\cong \mathbb{H}^3/G$?

Gracias.

Answer 1

En general, hay un homeomorfismo entre el límite conforme y el límite del núcleo convexo de $M$, ver Epstein-Marden "Carcas convexas en el espacio hiperbólico, un teorema de Sullivan y superficies plegadas medidas". No verifiqué si su demostración sigue siendo válida cuando el límite conforme está vacío, pero en cualquier caso lo que estás pidiendo es un teorema bien conocido. Moralmente es cierto porque ${\mathbb H}^3$ puede ser teselado por copias de un dominio fundamental compacto y su compacidad implica que tienes infinitas copias de un dominio fundamental (y por ende infinitos puntos de cualquier órbita) en cualquier vecindario dado de algún punto $x \in S^2_\infty$, por lo que $x$ debe pertenecer al conjunto límite.