Mapa conforme del disco con el disco más pequeño eliminado al semiplano superior

Question

Estoy trabajando en un problema que fue un examen de calificación complejo anterior en mi universidad. Creo que tengo una solución, pero no estoy del todo seguro. El problema es el siguiente:

Encontrar un mapa conforme uno a uno de la región $\Omega=\{z\in\mathbb{C}\,|\,|z|<2\text{ and }|z-1|>1\}$ en el semiplano superior.

Aquí está mi intento:

La región $\Omega$ puede asignarse a la franja vertical $\{z\in\mathbb{C}\,|\, -1/2<\text{Re }(z)<-1/4\}$ por el mapa $z\mapsto\frac{1}{z-2}$ . Entonces $z\mapsto\left(\frac{4\pi}{z-2}+2\pi\right)i$ mapas $\Omega$ a la banda horizontal $\{z\in\mathbb{C}\,|\,0<\text{Im }(z)<\pi\}$ . Por último $$ z\mapsto \exp\left(\frac{4\pi}{z-2}i+2\pi i\right) $$ o $$ z\mapsto\exp\left(\frac{4\pi}{z-2}i\right) $$ debe corresponder al plano medio superior.

¿Es correcto? ¿Hay alguna manera más fácil de ver esto? Cualquier aportación será muy apreciada, gracias de antemano.

Answer 1

Esto es correcto, y no hay un enfoque más fácil. Siempre que tengas un dominio con dos círculos mutuamente tangentes en su límite, probablemente vas a enviar el punto de tangencia a $\infty$ para convertir los círculos en líneas paralelas. Y el paso posterior de mapear una tira infinita en un semiplano con funciones exponenciales también es estándar.