¿Qué es un punto de ramificación?

Question

Me cuesta entender el concepto de "punto de ramificación". Entiendo que, por ejemplo, si tomamos el $\log$ rodeando $2\pi$ llegamos a un valor diferente, por lo que se trata de una función multivaluada. Sin embargo, seguramente este argumento vale para todos los puntos del plano complejo, así que no entiendo muy bien cómo $z=0$ es el ÚNICO punto de ramificación.

Además, el curso para el que estoy revisando no necesita superficies de Riemann ni conocimientos de esa área de las matemáticas, sólo qué es un punto de bifurcación y cómo encontrarlo.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Un punto de ramificación de una "función multivaluada" $f$ es un punto $z$ con esta propiedad: no no existe un barrio abierto $U$ de $z$ en el que $f$ tiene una rama de un solo valor.

En el caso de $\log$ el único punto de bifurcación es $0$ En efecto, si $z \ne 0$ podríamos tomar $$U = \{ w \in \mathbb{C} : \lvert w - z \rvert < \lvert z \rvert \}$$ y definir una rama de $\log$ en $U$ . Si se quiere pensar en términos de caminos, la cuestión es que el valor de $\log$ no puede saltar si el camino no da la vuelta $0$ .