Relación entre cobordism y fusión unitaria categoría clasificación de TQFT / fase SPT

Question

En la parte introductoria de Gaiotto del papel (https://arxiv.org/pdf/1712.07950.pdf), dice: "en el contexto topológico de la teoría de campo, homotopy de la teoría de las ideas conducen también a la clasificación de los invertible fases en términos de cobordism espectros." Por otro lado, es bien sabido que se puede construir (2+1)d TQFT por Turaev-Viro estado de la suma de un unitario de la fusión de la categoría. Cobordism y unitaria de la fusión de la categoría parecen muy diferentes de los objetos.

Mi pregunta es: ¿cómo son estos dos enfoques relacionados con cada uno de los otros? Yo no soy un matemático o un experto en este campo. Cualquier simple descripción/explicación será muy útil para mí.

Answer 1

El Turaev-Viro estado de sumas para la construcción de la no-invertible 3d TQFTs, ya que no hay ninguna que no sea trivial invertible, sin la adición de simetría. Usted puede hacer eso, y que conduce a una G-equivariant noción de una fusión de la categoría. Usted puede incluso conseguir un trivial de G-equivariant extensión de un trivial de la fusión de la categoría, lo que significa que el F-símbolos (asociador) se convierte en el grupo 3-cocycle. Esto da una relación entre la fusión de categorías y de grupo cohomology. Hay una buena discusión aquí https://arxiv.org/abs/1410.4540 .

Que yo sepa no hay ninguna extensión directa de este a la cobordism teorías, pero usted puede escribir el cobordism grupos como grupo cohomology como de objetos y hace lo mismo. Que era básicamente el enfoque de estos documentos: https://arxiv.org/abs/1505.05856 y https://arxiv.org/abs/1701.08264 . Allí, el cobordism grupos están asociados con la particular fusión de categorías que "bosonize" el fermionic SUBCOMITÉ fases.

Tenga en cuenta que, si bien parece posible clasificar a es invertible TQFTs, clasificar algo como todos los 3d TQFTs parece incluso más difícil que la clasificación de todos los grupos finitos. Son mucho más bestias salvajes. Hay un muy buen artículo sobre el topológica de la potencia unitaria de TQFT: https://arxiv.org/abs/math/0503054

ps. por qué no preguntar a anton a explicar? :P