El valor de$(2^n+3^n+4^n)^{1/n}$ como$n \rightarrow \infty?$

Question

Estaba pensando en el siguiente problema:

¿Cómo puedo encontrar el valor de$(2^n+3^n+4^n)^{1/n}$ como$n \rightarrow \infty?$

¿Alguien me puede apuntar en la dirección correcta? Gracias de antemano por tu tiempo.

Answer 1

SUGERENCIA:$$4=(4^n)^{\frac1n}\leq (2^n+3^n+4^n)^{\frac1n}\leq (3\cdot4^n)^{\frac1n}=3^{\frac1n}\cdot4.$ $

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En general$$\displaystyle{\lim_{p\to\infty}(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_k|^p)^{\frac1p}=\max_{i=1,2,\ldots k}|x_i|}\cdot$ $ Esta es la norma suprema de$(x_1,x_2,\cdots,x_k)$.
La notación es$\|(x_1,x_2,\cdots,x_k)\|_\infty$ debido a$$\displaystyle{\max_{i=1,2,\ldots k}|x_i|=\lim_{p\to\infty}(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_k|^p)^{\frac1p}=\lim_{p\to\infty}\|(x_1,x_2,\cdots,x_k)\|_p}\cdot$ $

Answer 2

Puedes sacar un factor de cuatro para dar:$$4\times((\frac2 4)^n+(\frac3 4)^n+1)^{\frac1n}$ $ y trabajar desde allí.

Answer 3

Aquí tiene un enfoque que usa la definición de la constante$e=\lim_{n\to\infty}(1+\frac 1n)^n$. $$ (2 ^ n +3 ^ n +4 ^ n) ^ {\ frac 1n} ~ = ~~ 4 \ left (1 + \ frac {2 ^ n +3 ^ n} {4 ^ n} \ right) ^ {n \ frac {2 ^ n +3 ^ n} {4 ^ n} \ frac {4 ^ n} {2 ^ n +3 ^ n}} $$ Dado que$n\frac{2^n+3^n}{4^n}\to 0$ y$(1 + \frac{2^n+3^n}{4^n})^{\frac{4^n}{2^n+3^n}}\to e$ tienes que el límite anterior es igual a$4e^0=4$.