¿Cómo resuelve para x en esta ecuación?

Question

He intentado ampliar, pero aún no puedo deshacerme de los exponentes para aislar x.

$$\frac{(1+x)^4-1}{x}=4.374616$$

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Desea resolver $$\frac{(1+x)^4-1}{x}=a$$ After expansion and simplification, this equation write $$x^3+4x^2+6x=a-4$$ you could solve using Cardano's formula. On the other side, you can consider that the solution is the intersection of the function $$y=x^3+4x^2+6x$$ with the horizontal line $y % = a-4_$. If you study the function, you can prove that it does not show any maximum since its derivative $$y'=3x^2+8x+6$$ has no real root. So, there is only a real solution which will be positive if $a \gt 4$, $0$ if $x = 4$ and negative if $a \lt 4$.

Puesto que en su caso, no es mucho más grande que $a$ $4$, la solución está cerca de $0$ y puede utilizarse un procedimiento de Newton. A partir de una conjetura inicial $x0=0$, Newton actualizará según$$x{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$ Using $f (x) =x^3+4x^2+6x-0.374616$, the successive iterates will be $0.062436$, $0.0600038$, $0.0600000$ que es la solucion exacta.

Answer 2

\begin{align} (1+x)^{4} - 1 &= [(1+x)^{2} - 1] [ (1+x)^{2} + 1] = (1+x-1)(1+x+1)(x^{2} + 2x +1) \nonumber\ &= x(x+2)(x^{2}+2x+2) \end {Alinee el} o \begin{align} \frac{(1+x)^{4} -1}{x} = (x+2) (x^{2} + 2x +2). \end {Alinee el} ahora, $4.374616$ puede ser factorizado en\begin{align} 4.374616 = (2.06)(2.1236) = (2 + .06)((.06)^{2} + 2(.06) + 2). \end {Alinee el} esto da\begin{align} (x+2) (x^{2} + 2x +2) = (2 + .06)((.06)^{2} + 2(.06) + 2) \end {Alinee el} que da $x = .06$.

Answer 3

Voy a presentar dos enfoques generales, comenzando con el que mejor funciona para este caso en particular:

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Suponiendo que los valores pequeños de x, se tiene $(1+x)^4\approx1+4x+6x^2$. Restando $1$ y dividiendo por x, nos quedamos con la solución de $4+6x=4+\alpha\iff x=\dfrac\alpha4=0.06,~$ donde $\alpha=0.374616$.

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Deje $~f(x)=(1+x)^4.\quad$ $~\dfrac{(1+x)^4-1}x=\dfrac{(1+x)^4-(1+0)^4}{x-0}\approx f'(0).\quad$ Pero $~f'(x)=$

$=4\cdot(1+x)^3.\quad$ $~4\cdot(1+x)^3\approx a\iff x\approx-1+\sqrt[3]{\dfrac a4}=0.03,~$ Cual, lamentablemente, es

sólo la mitad del valor real, $x=0.06.~$ sin Embargo, la razón por la que elegí para presentar este método también es porque, a pesar de que no funciona muy bien para este caso en particular, que funciona bastante bien en muchas otras situaciones similares.