¿Por qué los modelos medianos de clase escapar el teorema de completitud?

Question

Suponga que ZFC es consistente. Entonces no es cierto que cada modelo de $(M,\in')$ de ZFC tiene un elemento $x \in M$ tal que $M$ cree que $x$ es un modelo de ZFC. De lo contrario, por la semántica integridad teorema de primer orden de la lógica, de ZFC iba a probar su propia consistencia, con lo que se ejecuta en contra de Goedel del segundo teorema de la incompletitud.

Sin embargo, es cierto que cada modelo de $(M,\in')$ de ZFC tiene la propiedad de que existe $A \subseteq M$ $R \subseteq M^2$ tal que $(A,R)$ es un modelo de ZFC. Por ejemplo, tome $A = M$ $R = [\in'].$ Esto también muestra que $A$ $R$ puede definido en el lenguaje de la $(M,\in')$.

Así que en primer lugar, este análisis es correcto? Me siento como que podría estar haciendo mal uso del teorema de completitud en el párrafo 1, o, al menos, describiéndola.

En segundo lugar, y más importante aún, ¿por qué no la integridad teorema de aplicar a estas clase de modelos de tamaño $(A,R)$, dando así una contradicción?

Answer 1

Creo que en realidad el uso de la solidez teorema, más que el teorema de completitud. Así la falsa prueba de la consistencia de $\mathsf{ZF}$ sería algo como esto:

1. Considerar la clase de todos los conjuntos de $V$ y la clase de los pares ordenados $\langle x, y \rangle$ donde $x \in y$.

2. Definir una función de clase, $F$ a partir de las fórmulas de la lengua de $\mathsf{ZF}$ con los parámetros de $V$ para el conjunto de $\{0, 1\}$. Creo que de $F(\phi)$ como el valor de verdad de $\phi$. Vamos a escribir $V \models \phi$ a la media de $F(\phi) = 1$ $V \not \models \phi$ a la media de $F(\phi) = 0$.

3. Mostrar (dentro de $\mathsf{ZF}$) que para cada teorema $\phi$ de $\mathsf{ZF}$, $V \models \phi$, por la comprobación de los axiomas de la $\mathsf{ZF}$ mantener y, a continuación, aplicar la solidez teorema.

4. Tenga en cuenta que por la definición de $\models$, no podemos tener $V \models \bot$.

5. Deducir que $\mathsf{ZF}$ es consistente.

Quiero decir que la parte de este argumento que no es, de hecho, 2. No podemos definir el "valor de verdad" de la clase de función, por lo que las piezas que vienen después, cuando hablamos de $V \models \phi$ ni siquiera son significativas.

La forma en la que queremos definir el valor de verdad de la función $F$ es como sigue. Queremos definir recursivamente sobre la estructura de las fórmulas. Por ejemplo, queremos $F(\phi \wedge \psi)$ a ser uno si ambos $F(\phi)$ $F(\psi)$ son uno, y cero en caso contrario. Queremos $F(\forall x \, \phi(x))$ a ser uno de los si $F(\phi(a)) = 1$ por cada $a \in V$ y cero en caso contrario. Sin embargo, no podemos afirmar esto directamente en el lenguaje de la teoría de conjuntos.

Si estuviéramos trabajando a través de un conjunto, en lugar de en $V$, luego podemos aplicar el teorema de recursión para obtener una definición de $F$ sobre la base de la evidente inductivo definición. Sin embargo, este no es juntos cuando se trabaja con la debida clases. Creo que el punto clave aquí es que debido a que las fórmulas pueden tener parámetros de $V$, hay una clase adecuada de ellos, y, en particular, la aplicación de las cláusulas de los cuantificadores sería de lo más problemático.

Una alternativa es el trabajo "fuera" $\mathsf{ZF}$, y definir para cada fórmula $\phi$$\mathsf{ZF}$, una fórmula de $\mathsf{ZF}$ a representar a $V \models \phi$. Sin embargo, esto no es lo suficientemente "interna" para demostrar la consistencia de $\mathsf{ZF}$ dentro $\mathsf{ZF}$. La técnica general es, sin embargo, a menudo es útil para mostrar que una teoría de la $T$ es consistente si una teoría de la $T'$ es consistente (como opuesto a mostrar que la $T'$ demuestra que $T$ es consistente).