Para los casos en los que se puede medir $f_n : X \to [0, \infty)$ demostrar que $\sum_{n=1}^\infty f_n < \infty$ casi en todas partes

Question

Dejemos que $f_n : X \to [0 \infty)$ sea una secuencia de funciones medibles en el espacio de medidas $(X, \mathcal{F}, \mu)$ . Supongamos que hay un $M > 0$ de manera que las funciones $g_n = f_n\chi_{\{f_n \le M\}}$ satisfacer $||g_n||_1 \le An^{-\frac{4}{3}}$ y para el cual $\mu\{f_n > M\} \le Bn^{-\frac{5}{3}}$ . Aquí, $A$ y $B$ son constantes positivas independientes de $n$ . Demostrar que $h(x) = \displaystyle \sum_{n=1}^\infty f_n(x) < \infty$ para casi todos los $x \in X$ .

Answer 1

Como la secuencia $\{\sum_{n=1}^Nf_n\chi_{\{f_n\leqslant M\}}\}$ es convergente en $L^1$ extraemos una secuencia convergente en casi todas partes. Como los términos en cuestión son no negativos, tenemos que $\sum_{n=1}^{+\infty}f_n\chi_{\{f_n\leqslant M\}}$ es convergente para casi todo el mundo $x$ .

Por un argumento similar al de Borel-Cantelli, $\mu(\limsup_{n\to+\infty}\{f_n>M\})=0$ Así que para casi todos los $x$ podemos encontrar un número entero $N(x)$ de manera que si $n\geqslant N(x)$ entonces $f_n(x)\leqslant M$ .

Answer 2

El lema de Borel-Cantelli y el límite de cada $\mu\{f_n > M\}$ garantizar que $\mu\{x \in X : f_n(x) > M \mbox{ infinitely often}\} = 0.$ Así, para casi todos los $x \in X$ Hay un $N(x) \in \mathbb{N}$ para que $\displaystyle \sum_{n=N(x)}^\infty f_n(x) =\sum_{n=N(x)}^\infty f_n(x)\chi_{\{f_n > M\}}(x)$ . Pero $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f_n(x)\chi_{\{f_n > M\}}(x) < \infty$ para casi todos los $x \in X$ ya que $\displaystyle \int_X\sum_{n=1}^\infty f_n\chi_{\{f_n > M\}}d\mu = \sum_{n=1}^\infty\int_X f_n\chi_{\{f_n > M\}}d\mu \le \sum_{n=1}^\infty An^{-\frac{4}{3}} < \infty$ (la igualdad aquí es una consecuencia del Teorema de Convergencia Monótona).