Elemento supremo y mayor

Question

Acabo de aprender cuál es la definición de un supremum, y estoy confundido con algo que dicen mis libros de texto:

Los subconjuntos con un supremum no tienen por qué tener un elemento mayor, por ejemplo:

$(0,3): = \{x \in \mathbb{R} | 0 < x < 3\} $

y

$\{ x \in \mathbb{Q} | x^2 \leq 5\}$

Entiendo el primer ejemplo ya que sabemos que el supremum es 3 pero el subconjunto no tiene un elemento mayor ya que debe ser menor que 3. Sin embargo no entiendo el segundo. Si resolvemos $x^2 \leq 5$ Creo que tenemos $-\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}$ . ¿No significaría esto que $\sqrt{5}$ es el mayor elemento de este subconjunto?

Answer 1

Lo haría, si $\sqrt{5}$ estaban en el subconjunto. Pero no es así, ya que $\sqrt{5}\notin \mathbb Q$ .

Answer 2

Pero en su segundo ejemplo, $x \in \mathbb{Q}$ , PERO $\sqrt{5} \notin \mathbb{Q}$ por lo que el mayor elemento (máximo) en el segundo conjunto no puede ser $\sqrt{5}$ .

$\sqrt{5}$ es el supremum del conjunto, pero no es el mayor elemento (es decir, elemento máximo ) en el conjunto (ya que un elemento máximo de un conjunto debe ser En el plató ). El supremum de un conjunto necesita no estar en el conjunto y un conjunto puede tener un supremum, sin un elemento mayor, como se observa en el primer conjunto). En este caso, como en el primer ejemplo que proporcionas, no hay ningún elemento máximo en el conjunto.

$$(2)\quad\{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 \le 5\} \iff \{x \in \mathbb{Q}: -\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5}\} \iff \{x \in \mathbb{Q}\;\; \land \;\;x \in [-\sqrt{5}, \sqrt{5}]\}.$$ Así que $(2)$ excluye los irracionales como $-\sqrt{5}$ y $\sqrt{5}$ .

Tenga en cuenta que $(2)$ es precisamente el mismo conjunto que $\{x \in \mathbb{Q}: \sqrt{5} < x < \sqrt{5}\}$ (utilizando la desigualdad "estricta", " $<$ " para sustituir a " $\le$ ")