Caracterización de las teorías estables

Question

Que $\kappa$ ser un cardinal infinito. Una teoría $T$ se llama $\kappa$-estable si para todo modelo $M\models T$ y todos los $A\subset M$ $|A|\leq \kappa$ tenemos $|S_n^M(A)|\leq \kappa$.

Una teoría $T$ se llama estable si es $\kappa$ estable % cardinal infinito $\kappa$.

Pregunta. ¿Hay alguna caracterización de teorías estables en cuanto a la relación de independencia no bifurcar similares a Kim-Pillay caracterización de teorías simples?

Answer 1

Sí. La manera fácil de ver esto utiliza la caracterización de la estabilidad de teorías como las teorías simples para que no se bifurcan independencia satisifies estacionariedad sobre los modelos.

Estacionalidad: Para cualquier modelo de $M$ y cualquier conjunto $B$ si $a$ es independiente de $B$ más de $M$, $a'$ es independiente de$B$$M$, e $\text{tp}(a/M) = \text{tp}(a'/M)$,$\text{tp}(a/MB) = \text{tp}(a'/MB)$.

En otras palabras (junto con la extensión de la propiedad), cualquier tipo de $M$ tiene un único independiente de la extensión de un tipo de más de $MB$.

Así que, obviamente, puede caracterizan no se bifurcan independencia de la estabilidad de las teorías sólo por tomar el Kim-Pillay caracterización de la no-bifurcación de la independencia en simples teorías y la adición de estacionariedad sobre los modelos.

De hecho, usted puede conseguir lejos con menos axiomas de este; en particular, la estacionariedad sobre los modelos le da la independencia teorema sobre los modelos de forma gratuita. Así que hay varias listas de los axiomas que caracterizan no se bifurcan en estable teorías:

• Usted puede encontrar una estable variante de la Kim-Pillay axiomas en Casanovas del libro Teorías Simples y Hyperimaginaries, 12.2 Definición y Teorema de 12.22.
• El hecho de que no se bifurcan independencia de la estabilidad de las teorías puede ser axiomáticamente caracteriza también puede haber sido notado por Harnik y Harrington (mucho antes de que Kim y Pillay comenzó a estudiar teorías simples), ver Axiomas 0-3 y Teorema 5.8 en su papel Fundamentos de la Bifurcación.
• Una más moderna de la presentación de la Harnik y Harrington es el teorema Teorema de 8.5.10 en Tienda de campaña y Ziegler libro Un Curso en el Modelo de la Teoría.