Mostrar que $\int_0^n\sin x^2dx$ converge

Question

La pregunta

Bien. Así que estoy tratando de resolver el problema para un examen anterior de análisis real. Por lo tanto, sólo pueden utilizarse métodos.

La integral de la $\int_0^\infty\sin x^2dx$ es llamada una integral de Fresnel y surge en la onda óptica. Mostrar que esta integral converge, demostrando que la secuencia de $a_n:=\int_0^n\sin x^2dx$ converge en $\mathbb{R}$.

La pregunta también viene con la siguiente sugerencia.

Sugerencia: Utilice el hecho de que $$ \sin x^2=-\frac{1}{2x}\frac{d}{dx}\cos x^2. $$

Me hace pensar en el uso de la integración por partes, y que ha sido la sugerencia de preguntas similares. Sin embargo, cuando hago que las cosas no se ponen más fácil. En consecuencia, estoy un poco atascado.

Aquí están mis cálculos

$$ \int_0^n\sin x^2dx=-\int_0^n\frac{1}{2x}\frac{d}{dx}\cos x^2dx=[-\frac{1}{2x}\cos x^2]_0^n-\int_0^n\frac{1}{2x^2}\cos x^2dx. $$

Preguntas relacionadas con la

Hay un hilo acerca de la evaluación de la integral de Fresnel se llama "la Evaluación de $\int_0^\infty \sin x^2\, dx$ con métodos reales?" y otra que se llama "Trig Integral de Fresnel", pero ninguna de las respuestas a estas preguntas implican que muestra la convergencia como se indica en esta cuestión, y ambas implican la función Gamma, que no estaba incluido en mi curso de análisis real.

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, que $n>m$. Entonces, $$ \left| a_n-am \right|=\left|\int{m}^{n}\sin{x^2}dx \right|= \left| \int^{n}{m} {-\frac{1}{2x}\frac{d}{dx}\cos{x^2}}dx\right|=\left|\left[-\frac{1}{2x}\cos{x^2} \right]{m}^{n}+\int_{m}^{n}-\frac{1}{2x^2}\cos{x^2}dx\right| $ $

$$\leq \left|\frac{1}{2m}\cos{m^2}-\frac{1}{2n}\cos{n^2} \right|+ \int_{m}^{n} \left| \frac{1}{2x^2} \right| dx\leq \frac{1}{2m}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2m}=\frac{1}{m}\rightarrow 0 $$ as $n,m\rightarrow \infty$.

Así, $a_n$ es Cauchy en $\mathbb{R}$ hay $a\in \mathbb{R}$ tal que $a_n\rightarrow a$.

Answer 2

$$ a_n = \frac12\int_0^ {n ^ 2} \sin y\frac {dy} {\sqrt y} = y \frac12\left[\frac{1-\cos} {\sqrt y} \right] _0 ^ {n ^ 2} + \frac14\int_0^n\frac{1-\cos y} {y ^ {3/2}} dy \to\frac14\int_0^\infty\frac{1-\cos y} {y ^ {3/2}} dy.$ $ esta última integral es absolutamente convergentes.