Acreditativa de la identidad dada en grupo

Question

Por favor, considere el siguiente problema:

Si en un grupo G , $xy^2 = y^3x$ $yx^2 = x^3y$ demostrar que $x = y = e$ donde $e$ es el elemento de identidad.

Aquí está mi intento hasta ahora:

Ya que es difícil extraer $x$ o $y$ desde cualquiera de las ecuaciones estoy tratando de encontrar a $xy$ tanto de las ecuaciones e igualando ellos.

$xy^2 = y^3x \\ xy = y^3xy^{-1} ----- (1) $

$x^3y = yx^2 \\ xy = x^{-2}yx^2 ---- (2)$

Ahora igualando (1) y (2) :

$y^3xy^{-1} = x^{-2}yx^2$

Después de este paso, me han llenado páginas (difícil de reproducir aquí) sustituir las variables aquí y allí, pero de alguna manera estoy atrapado en un bucle.

Es allí una manera de salir?

Answer 1

Creo que esto no trivial, y dudo que esta es la mejor manera. Pero esto no parece funcionar. Mi filosofía es que el trabajo con los conjugados es más fácil y nos permite determinar, de forma sistemática un conjunto de relaciones, así que primero la reescritura de las relaciones como un conjugado de la relación. Luego trabajar con él hasta que se sustituye en la otra relación. Y la esperanza.

Como las dos relaciones son el mismo, vamos a empezar con el primero que le dio. Empezar con $xy^2 = y^3x$. La reescritura, veremos que $xy^2x^{-1} = y^3$. Este es un esperanzador comienzo. Esta dice que el $y^2$ es conjugado a $y^3$. Esto será útil más adelante.

Cuadrado, vemos que $xy^4x^{-1} = y^6$. ¿Qué significa esto para nosotros? Bueno... no hay nada. Quiero seguir adelante hasta que podamos hacer $x^3 y$ - que es el objetivo. Así que vamos a cubo de la conjugacy relación en su lugar, produciendo $xy^6x^{-1} = y^9$. Mientras estamos en ello, vamos a tomar el cuarto poder, así, dar $xy^8x^{-1} = y^{12}$.

Aha! Tenemos una expresión para $y^6$ ya desde el cuadrado de la conjugacy relación. La sustitución que en el cúbicos de energía, obtenemos

$$x^2 y^4 x^{-2} = y^9.$$

Yo llamo a este progreso. Necesitamos que esto ocurra de nuevo. Así que la plaza esta última expresión y obtenga $x^2 y^8 x^{-2} = y^{18}$. ¿Qué tenemos ahora? De nuevo... nada de nada. Así que, volvemos a repetir lo que hemos hecho antes, y encontrar el cubo, $x^2 y^{12}x^{-2} = y^{27}$. Aha, tenemos una relación de $y^{12}$ a partir de tomar la cuarta potencia de arriba! La sustitución de que aquí, obtenemos

$$ x^3 y^8 x^{-3} = y^{27}.$$

Finalmente, hemos de ponernos en una posición donde podemos utilizar la otra relación. Sabemos que $x^3y = yx^2$ (y así también sabemos que $y^{-1}x^{-3} = x^{-2}y^{-1}$, que usaremos como nos la está pegando con conjugados siempre que sea posible). Así que reescribir

$$\begin{align} x^3 y^8 x^{-3} &= y^{27} \\ (x^3y)y^8(y^{-1}x^{-3} &= y^{27} \\ y(x^2y^8x^{-2})y^{-1} &= y^{27} \end{align}$$

y porque el destino como nosotros, ya sabemos que el $x^2y^8x^{-2} = y^{18}$ desde arriba. El uso de este, sustituimos y obtener

$$y^{18} = y^{27}.$$

Hemos determinado que $y^9 = e$. Así, en particular, la orden de $y$ divide $9$. Pero desde el primer conjugacy relación $xy^2x^{-1} = y^3$, podemos ver que $y^2$ $y^3$ son conjugados, y por lo tanto tienen el mismo orden. Pero como $2$ no divide $9$, vemos que el orden de $y$ deben, de hecho, por $1$, y por lo $y = e$. Y por lo tanto $x = e$.

Answer 2

Lema 1: $y = x^{3k} y x^{-2k}$ (Inducción usando $y = x^3 y x^{-2}$)

Lema 2: $y^n = x^{3^n} y^n x^{-2^n}$ (Inducción utilizando el Lema 1)

Lema 3: $y^n = x^{3^n k} y^n x^{-2^n k}$ (Análogo al Lema 1)

Desde Lema 3 y $y^3 = x y^2 x^{-1}$, obtenemos $$x^{27m} y^3 x^{-8m} = x^{9n + 1} y^2 x^{-4n - 1}$$ Sustituyendo $y^3 = x y^2 x^{-1}$ tenemos $$x^{27m + 1} y^2 x^{-8m - 1} = x^{9n + 1} y^2 x^{-4n - 1}$$ Eligiendo $m = 1, n = 3$, obtenemos $$x^{28} y^2 x^{-9} = x^{28} y^2 x^{-13}$$ $$x^4 = e$$

Por lo tanto, el orden de $x$ divide 4. Desde $x^3$ $x^2$ son conjugados, deben tienen el mismo orden. Pero, a continuación, $x$ deben ser de orden 1, es decir, $x = e$. Y por lo tanto $y = e$.