¿Es la bola abierta conjunto dada en el espacio métrico o no?

Question

Espacio métrico es $(C[0,1],||.||_\infty)$ con sup norma Deje $f,g:[0,1]\to R$ ser funciones continuas y $f(t)<g(t)\forall t\in [0,1]$.

$A=\{h\in C[0,1]|f(t)<h(t)<g(t) \forall t\in [0,1]\}$. Es $A$ está abierto a la pelota en $C[0,1]$ o no? Si no, entonces ¿qué condición adicional necesaria para hacer que se abra ?

Como $f,g$ son en conjunto compacto, entonces se tiene máximo y mínimos alcanzado en el dominio de algún lugar.
Si $A$ es abierto entonces tengo que encontrar alguna radio de $\epsilon$>0 tal que $B(h_1,\epsilon)\subset$U para algunos $h_1 \in A$.Como $h_1\in A$ $f(t)<h_1(t)$ por lo tanto $h_1(t)-f(t)=\delta >0$, Pero creo que requiere más pequeño radio que se encuentra?
Cualquier Ayuda será apreciada

Answer 1

Algunos consejos

Supongo que usted equipado $V = \mathcal C([0,1], \mathbb R)$ $\sup$ norma, a saber,$\Vert f \Vert = \sup\limits_{t \in [0,1]} \vert f(t)\vert$.

Denotar $m = \inf\limits_{t \in [0,1]}g(t)-f(t)$. Por compacity de $[0,1]$ y la continuidad de $f,g$ $m$ es alcanzado, digamos en $u \in [0,1]$

Usted será capaz de probar siguientes afirmaciones:

1. Si $A$ es una bola de $B(h,R)$, su radio de $R$ tiene que ser igual a $\dfrac{m}{2}$.
2. Si $g-f$ es constante (e igual a $m$), $A$ es la bola abierta centrada en $\dfrac{f+g}{2}$ radio $\dfrac{m}{2}$
3. Si $g-f$ no es constante, $A$ no es una pelota. Para demostrarlo, supongamos que $A$ es una bola abierta centrada en $h$ y construir un mapa continuo que es en $A$, pero no en $B(h, \dfrac{m}{2})$.