Demuestre que si$f$ diferenciable en$x^*$ y$f(x^*)=0$, entonces$\liminf_{x\to x^*}\frac{|f(x)|}{||x-x^*||}=0$ si$n>1$

Question

Permita que$f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ sea diferenciable en$x^*$ y$f(x^*)=0$. Demuestre que si$n>1$, entonces$$\liminf_{x\to x^*}\frac{|f(x)|}{||x-x^*||}=0.$ $ ¿Esto es cierto para$n=1$?

Sé que porque$f$ es diferenciable en$x^*$, hay una transformación lineal$L\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ tal que$$0=\lim_{x\to x^*}\frac{|f(x)-f(x^*)-L(x-x^*)|}{||x-x^*||}=\lim_{x\to x^*}\frac{|f(x)-L(x-x^*)|}{||x-x^*||}.$$ How to proceed from there? And what is special about $ n = 1 $?

Answer 1

¿Por qué la diferencia entre los casos $n=1$$n>1$?

Para $n=1$, el núcleo de un lineal mapa puede ser reducido al vector cero. Este no es el caso de $n>1$.

El resultado es cierto para $n>1$

En ese caso $L$ es una forma lineal y su núcleo no se reduce al vector cero. Tome $a \in \ker L \setminus \{0\}$. Para$m \in \mathbb N$$x_m = \frac{a}{m} + x^*$, usted tiene $L(x_m-x^*) = 0$$\lim\limits_{m \to \infty} \dfrac{|f(x_m)-L(x_m-x^*)|}{||x_m-x^*||}= \dfrac{|f(x_m)|}{||x_m-x^*||}=0$. Como $\lim\limits_{m \to \infty} x_m = x^*$$\lim \inf_{x\to x^*}\dfrac{|f(x)|}{||x-x*||}=0$.

El resultado es malo para $n=1$

Simplemente tome $f(x)=x$$x^*=0$. Ha $\dfrac{|f(x)|}{||x-x*||}=1$ todos los $x \in \mathbb R \setminus \{0\}$.