¿Cuál es la máxima$m$, tal que$\mathbb{Z}_2^m \leq GL(n, 2)$?

Question

¿Hay alguna fórmula cerrada para la función$m(n)$, que se define como el$m$ máximo, de modo que hay$GL(n, 2)$ tiene un subgrupo isomorfo a$\mathbb{Z}_2^m$?

Lo único que sé actualmente es que$m(1) = 0$ (como$GL(1, 2)$ es trivial) y$m(2) = 1$ (como$GL(2, 2)$ es isomorfo a$S_3$). Con$GL(3, 2)$, las cosas se vuelven muy complicadas (ya que es un grupo de orden simple 168), por lo que$m(3)$ o cualquier otro$m(n)$ con$3 \leq n$ me resulta desconocido actualmente.

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Reclamo:$m(n)\geq\lfloor n^2/4\rfloor$ .

Prueba: para todo$1\leq a\leq n-1$, existe un subgrupo de$GL(n,2)$ isomorfo a$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{a\times(n-a)}$, dado por

$$ \ left \ {\ left (\begin{matrix}I_{a\times a} & A \\ 0 & I_{(n-a)\times(n-a)}\end {matrix} \ right) \ middle | A \ in (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) ^ {a \ times (na)} \ derecho\}. $$

Cuando nosotros tenemos $a=\lfloor n/2\rfloor$.

Creo que$a(n-a)=\lfloor n^2/4\rfloor$ es lo mejor posible. Esto podría demostrarse mirando el subgrupo de todas las matrices triangulares superiores en$\lfloor n^2/4\rfloor$, que es uno de los$GL(n,2)$ - subgrupos de Sylow de$2$.