Demuestre que$\int_0^x \frac{\sin t}{t} dt > \arctan x $ para$x>0$.

Question

Estoy encontrando algunos límites para la función Si definida como $$ \ operatorname {Si} (x): = \ int_0 ^ x \ frac {\ sin t} {t} dt. $$ Observé de WolframAlpha que la desigualdad $$ \ operatorname {Si} (x)> \ arctan (x) $$ se cumple para$x>0$.

Traté de mostrar esto analíticamente pero fallé y no pude encontrar ninguna referencia con respecto a esto. ¿Podría alguien ayudarme con esto?

Answer 1

Bien, me di cuenta de que representan a $\arctan(x)$ a través de la integral de una función oscilante no es una buena idea. Mejor para representar al $\arctan(x)$ $\text{Si}(x)$ integrales de monótono y fácilmente comparables funciones. Así que aquí es una versión pulida de la respuesta anterior. Podemos asumir con seguridad $x>1$ ya que el poder de la serie probar fácilmente que la declaración de $x\in[0,1]$. Por la transformada de Laplace y Cauchy-Schwarz desigualdad

$$ \text{Si}(x)=\frac{\pi}{2}-\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(x)+s\sin(x)}{(1+s^2)e^{sx}}\,ds\geq \frac{\pi}{2}-\int_{0}^{+\infty}\frac{ds}{e^{sx}\sqrt{1+s^2}}. \tag{1}$$ Por la definición misma de $\arctan$ tenemos $\arctan(x)=\left(\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+s^2}-\frac{1}{1+(s+x)^2}\right)\,dx$, por lo tanto a través de $\arctan x=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{1}{x}$ obtenemos la siguiente representación integral: $$ \arctan(x) = \frac{\pi}{2}-\int_{0}^{+\infty}\frac{1+2sx}{(1+s^2)(1+2sx+x^2+s^2 x^2)}\,ds. \tag{2}$$ En aras de la brevedad, nos vamos a denotar como $S(x,s)$ $T(x,s)$ el integrando las funciones que aparecen en la RHSs de $(1)$$(2)$. Si logramos demostrar $S(x,s)\leq T(x,s)$ cualquier $x>1$ y cualquier $s>0$ hemos terminado. Pero el Padé approximants para la función exponencial, revelan que este es un poco más flojo de la desigualdad, así que está bien: $$ \forall x>0,\qquad \text{Si}(x)>\arctan(x).\tag{3} $$

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Un extraño consecuencia de $(1)$ y el AM-QM desigualdad es también $$ \text{Si}(x) > \frac{\pi}{2}-\sqrt{2}\,e^x\,\Gamma(0,x).\tag{4}$$

Answer 2

$$\text{Si}'(x) = \frac{\sin x}{x} = \frac{\sum_k (-1)^kx^{2k+1}/(2k+1)!}{x} = \sum_k (-1)^kx^{2k}/(2k+1)!$ $$$\arctan'(x) = \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_k (-x^2)^k = \sum_k (-1)^kx^{2k}$ $

$$\text{Si}(x) = \sum_k \frac{(-1)^kx^{2k+1}/(2k+1)}{(2k+1)!}$ $$$\arctan(x) = \sum_k \frac{(-1)^kx^{2k+1}/(2k+1)}{1}$ $

ps

Esto daría lo contrario de su desigualdad ... pero debemos tener en cuenta el$$\frac{1}{(2k+1)!} \geq \frac11$.