Creo que lo que sería fructífero sería considerar esto en términos de la teoría de la medida; entonces, podemos formalizar Robin respuesta. Queremos crear una estructura en la que podemos encarnar ambos conjuntos y escalares como el mismo tipo de objeto. Una manera conveniente de hacer esto es mediante el uso de medidas. Más adelante en el post, veremos cómo esto se conecta de nuevo, pero primero vamos a configurar algunas de las máquinas que necesitamos para crear un "límite" en las medidas.
En particular, consideran firmado medidas de $\mu_1$ $\mu_2$ definida sobre conjuntos de $S_1$$S_2$. Esencialmente, usted puede pensar que estas sólo como una generalización de la noción de una función o de una distribución. Podemos definir un producto de medida $\mu=\mu_1\times \mu_2$ $S_1\times S_2$ definiendo que, por $A_1\subseteq S_1$$A_2\subseteq S_2$, el producto de la medida satisface $\mu(A_1\times A_2)=\mu_1(A_1)\mu_2(A_2)$. Un conveniente noción acerca de las medidas es que podemos multiplicar por escalares - es decir $(c\cdot \mu)(A)=c\cdot\mu(A)$, y podemos tener diferencias de ellos*. Por otra parte, podemos definir los límites de tal modo que de $(\lim_{t\rightarrow\infty}\mu_t)(A)=\lim_{t\rightarrow\infty}(\mu_t(A))$ donde $\mu_t$ es una familia de medidas de parametrizada en $t$.
En particular, esto significa que si tenemos en la familia de medidas de $\mu_t$, se puede definir la derivada con respecto al $t$ como:
$$\mu'_t=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}h(\mu_{t+h}-\mu_t).$$
En realidad, tenemos todas las herramientas ya que tenemos que mostrar que este derivado se satisface la regla del producto - usted puede probar de la misma manera que te gustaría probar de verdad de las funciones con valores, ya que las medidas de con $\times$ $+$ act básicamente el mismo que los números reales. Además, puesto que si hemos tenido dos medidas de $\mu_t$ $\nu_t$ y quiso saber acerca de la derivada de $\mu_t\times \nu_t$ solo tendríamos que considerar su valor sobre alguna base, pudimos ver que, puesto que a partir de la definición de $(\mu_t\times\nu_t)(A_1\times A_2)=\mu_t(A_1)\nu_t(A_2)$, nuestro límite es que va a tener que obedecer la regla del producto, ya que básicamente, tenemos un producto de dos verdaderos valores de la función. Por otra parte, si pensamos en la derivada como la forma rápida en que la medida es "expansión", los únicos términos que se están expandiendo de forma lineal son los términos donde $\mu_t$ está expandiendo, sino $\nu_t$ es constante y viceversa, ya que los que tanto se están expandiendo sería cuadrática, y eliminado en el límite.
Ahora, nos vamos a los bits donde algunos de este resumen tonterías comienza a trabajar su magia - no se preocupe demasiado si el segundo párrafo no tiene mucho sentido. No es tan importante como lo que se viene. En primer lugar, vamos a relacionar esta nueva medida derivada de la norma. En particular, vamos a $f(t)$ ser alguna función derivable $\mathbb{R\rightarrow R}$. Vamos a relacionar a una familia de medidas de $\mu_t$ en el conjunto de $\{s\}$ mediante el establecimiento $\mu_t(\{s\})=f(t)$. Debería ser evidente que $\mu_t'(\{s\})=f'(t)$ a partir de nuestra definición. Por otra parte, si tenemos dos funciones, $f$ $g$ y los correspondientes a las familias de las medidas de $\mu_t$ $\nu_t$ en singleton conjuntos de $S_1$$S_2$, tendríamos
$$(\mu_t\times \nu_t)(S_1\times S_2)=f(t)g(t)$$
y por lo tanto
$$(\mu_t\times \nu_t)'(S_1\times S_2)=(fg)'(t)$$
y si ampliamos el lado derecho por el producto de la ley de medidas, obtenemos
$$\mu_t'(S_1)\nu_t(S_2)+\mu_t(S_1)\nu_t'(S_2)=(fg)'(t)$$
donde la mano izquierda términos se puede leer como $f'(t)g(t)+f(t)g'(t)$ - lo que significa que las medidas de satisfacción que el producto de la ley implica que para hacer las funciones de $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$.
Ahora, el verdadero truco está en relación con los conjuntos. Para ello, vamos a elegir algunos canónica de medida (por ejemplo, la que da el volumen de un conjunto) $m$ sobre un conjunto $S$ y vamos a definir, para cualquier conjunto $R\subseteq S$ medida $\hat{R}$
$$\hat{R}(A)=m(A\cap R).$$
Intuitivamente, esta medida, dice, "medir el volumen de $A$ dentro de la región de $R$". Así, por ejemplo, si $R$ fueron el intervalo de $[0,1]$, entonces la medida de la longitud de $A$ dentro $[0,1]$, ignorando las partes fuera. Como un ejemplo, supongamos que vamos a $R_t=[0,2t]$. A continuación, calculamos la derivada de la medida correspondiente $\hat{R}'_t$. Podemos ver que, puesto que, para un conjunto cerrado $A$, el valor de $\hat{R}_t(A)$ e de $\hat{R}_{t+h}(A)$ está de acuerdo para lo suficientemente pequeño $h$ si $A$ no contiene $2t$. Si $A$ contiene $2t$ en su interior, entonces la diferencia de $\hat{R}_{t+h}(A)-\hat{R}_{t}(A)=m([2t,2t+2h]\cap A)$, lo que es igual, para lo suficientemente pequeño $h$, exactamente $2h$. Por lo tanto, $\hat{R}_{t+h}(A)$ $2$ si $A$ contiene $2t$ $0$ lo contrario. Podemos interpretar esto significa que la familia de conjuntos de $R_t$ no varía con $t$ en la mayoría de los puntos, excepto alrededor del punto de $2t$, $t$ aumenta, $R_t$ crece a partir de ese momento a una tasa de $2$. Del mismo modo se puede visualizar esto como un impulso rectangular de anchura $2t$ que está creciendo a una tasa de 2. La derivada de la medida representa la rapidez en los cambios en un momento dado, y por lo tanto sólo tienen valores distintos de cero para los conjuntos de la intersección de la frontera, como los demás no cambian.
Sin embargo, incluso esto no acaba de llegar a donde queremos, tenemos que, dado un conjunto $R$, definir una familia de $R_t$ y tomar sus derivados. El endeudamiento de Robin ecuación, nos vamos a $R_t$ $t$- barrio alrededor de $R$. Así que, esperamos encontrar que el derivado $\hat{R}_0'$ será una medida que nos dice que el límite de $R$, debido a que estamos haciendo es "expandir" a una tasa de $1$. En particular, si $m$ volumen medido, podemos demostrar que $\hat{R}_0'(A)$ es igual a la superficie de la zona de la frontera de $R$ en el interior de $A$. Para ver esto, acaba de darse cuenta de que, como $R_h$ llega a cero, la diferencia de $R_h-R_0$ es sólo una delgada película" corriendo alrededor de la frontera, con un espesor de alrededor de $h$ en cada punto. Por lo tanto, su volumen es aproximadamente el área de la superficie de $R$ veces $h$ - y el derivado de la anulación de los "tiempos $h$" plazo. Tenga en cuenta que, a partir de la derivada de la medida, se puede extraer el límite sólo como el conjunto de puntos de $p$ tal que para cualquier vecindad $A$ $p$ $\mu(A)$ no es cero.
La siguiente visión para hacer es que, si tenemos dos conjuntos de $R$$T$, entonces la medida correspondiente a la $R\times T$ es la misma que la medida como $\hat{R}\times \hat{T}$. Por lo tanto, si tratamos de encontrar la derivada de la familia de las medidas asociadas al $R\times T$, en realidad vamos a encontrar la derivada de $\hat{R}_t\times \hat{T}_t$, lo que, desde medidas va a satisfacer la regla del producto, es $\hat{R}_0'\times \hat{T} \cup \hat{R}\times \hat{T}_0'$ - y el sentido, cuando se extrae el límite a partir de esta medida, vamos a terminar con $\partial R \times T \cup R\times \partial T$, el sentido que anteriormente mostró que $\hat{R}_0'$ es $\partial R$ y tomando un producto de medidas como esta se llevará a un producto de "no-cero" elementos de la medida, con esto se establece que el producto de la regla de las medidas también implica para el límite de conjuntos - lo que significa que podemos interpretar el hecho de que esta igualdad tiene por límites y derivados como proveniente de un hecho común que cualquiera puede ser expresado en términos de un derivado de una medida.
Espero que esto los ayuda a vincular estos conceptos en tu mente - esta explicación me ayuda a ver el enlace, pero se siente un poco demasiado largo para ser verdaderamente intuitiva (sobre todo si no ha interiorizado la idea de una medida), y es más bien abstracto, en cualquier caso. Yo estaría encantado de tratar de aclarar nada.
