¿Cuál es el significado físico de los determinantes de las matrices ortogonales que tienen el valor de $\pm 1$ ?

Question

Soy nuevo en el álgebra lineal y mientras estudiaba las matrices ortogonales, descubrí que su determinante es siempre $\pm 1$ . ¿Por qué es así? ¿Qué significado físico puede tener?

Sé que el álgebra lineal puede ser intuitiva cuando se visualiza, cosa que los vídeos de 3B1B me hicieron ver, de ahí que me gustaría saber más sobre esto. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Significa que las transformaciones ortogonales conservan los volúmenes. Esto es así porque, si se tiene un objeto $O$ y si $A$ es una transformación lineal, entonces el volumen de $A.O$ es el volumen de $O$ veces el valor absoluto de $\det A$ .

Answer 2

Bien, permítanme ampliar mi comentario (ahora borrado). Para dar una respuesta completa a su pregunta, permítame introducir algunos conceptos. Trabajemos en $V=\mathbb{R}^n$ . Utilizaré la notación $(x,y)$ para el producto interior de $x,y\in V$ (que es $x^Ty$ en $\mathbb{R}^n$ ).

Transformaciones del hogar: A transformación del hogar se define como sigue. Fijar un vector unitario $v\in V$ y definir la transformación lineal $T:V\to V$ como $$ T_v(x) = x-2(x,v)v $$ Lo que hace esta transformación es lo siguiente: El vector $v$ define un $(n-1)$ -hiperplano dimensional $H_v$ que pasa por el origen y es perpendicular a $v$ . Nuestro $T_v$ refleja cualquier otro vector $x$ con respecto a este hiperplano.

Dejo como ejercicio mostrar que $T_v$ es ortogonal. Además, hay que tener en cuenta que si $x$ se encuentra en el hiperplano $H_v$ es decir $(x,v)=0$ entonces $T_v(x)=x$ . Sin embargo, $T_v(v)=-v$ . Esto significa que $v$ es el único vector propio de $T_v$ con valor propio $-1$ . El otro valor propio de $T$ es $+1$ con multiplicidad $n-1$ (como la dimensión de $H_v$ es $n-1$ ). Como tal $\det T_v=-1$ .

Otro ejercicio que se puede hacer es demostrar que la combinación de dos transformaciones de los accionistas es una rotación (nótese que en este caso $\det = +1$ ). SUGERENCIA: Que $u,v$ son los dos vectores que determinan estas transformaciones de los hogares. Definir $W=\mathrm{span}\{u,v\}$ . Entonces $V=W\oplus W^\perp$ . Tenga en cuenta que si su transformación es $U$ entonces $U$ deja $W^\perp$ invariante. Así que tu problema es esencialmente bidimensional.

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Por último, consideremos una matriz diagonal de la forma $$ M=\mathrm{diag}(\underbrace{-1, \cdots,-1}_{m\text{ times}}, \underbrace{+1, \cdots,+1}_{n-m\text{times}})$$ si es la matriz de una transformación $U$ en la base estándar $e_1, \cdots, e_n$ y $T_i=T_{e_i}$ es la mencionada transformación de los hogares, entonces $$ U= T_m\circ \cdots \circ T_2\circ T_1 $$ En términos más generales, supongamos que $U$ es cualquier transformación ortogonal, $M$ su matriz. Definir la nueva base ortonormal $b_i=U(e_i)$ . Obsérvese que siempre podemos encontrar una rotación $R$ que envía $e_i$ ya sea para $b_i$ o $-b_i$ (en otras palabras, el $x_i$ El eje va a $b_i$ eje). En la nueva base $b_i$ la matriz es de la forma anterior. En otras palabras, combinando todo lo que hemos aprendido:

Cualquier transformación ortogonal, es una combinación de rotaciones y transformaciones de los propietarios (es decir, reflexiones). Se puede llevar esto aún más lejos: si $\det =+1$ la transformación tiene un número par de reflexiones. Si $\det =-1$ entonces la transformación tiene un número impar de reflexiones. Incluso puedes trabajar esto más allá y mostrar que todo esto se simplifica a $\det =+1\Longrightarrow$ una rotación, $\det =-1\Longrightarrow$ una reflexión seguida de una rotación.

Answer 3

Dejemos que $A$ sea una ortogonal $n\times n$ -matriz. Así, $A^T A = I_n$ (donde $I_n$ denota el $n\times n$ matriz de identidad). Por lo tanto, $\det\left(A^T A\right) = \det\left(I_n\right) = 1$ . Pero cualquier dos $n\times n$ -matrices $X$ y $Y$ satisfacer $\det\left(XY\right) = \det X \cdot \det Y$ (esta es la famosa propiedad de multiplicatividad del determinante). Aplicando esto a $X = A^T$ y $Y = A$ obtenemos $\det \left(A^T A\right) = \det A^T \cdot \det A = \det A \cdot \det A$ (ya que otra propiedad conocida de los determinantes dice $\det A^T = \det A$ ). Por lo tanto, $1 = \det\left(A^T A\right) = \det A \cdot \det A = \left(\det A\right)^2$ . Restando $1$ a partir de esta igualdad, obtenemos $0 = \left(\det A\right)^2 - 1 = \left(\det A - 1\right)\left(\det A + 1\right)$ . Pero un producto de dos números (complejos o reales o racionales) sólo puede ser $0$ si uno de ellos es $0$ . Por lo tanto, desde $\left(\det A - 1\right)\left(\det A + 1\right) = 0$ obtenemos que $\det A - 1 = 0$ o $\det A + 1 = 0$ . En otras palabras, o bien $\det A = 1$ o $\det A = -1$ .

Esto es válido para cualquier matriz $A$ con entradas complejas (o reales o racionales) (o en general con entradas en cualquier campo). La intuición geométrica ("matriz ortogonal = transformación de congruencia") no es válida en esta generalidad.

Answer 4

Matrices/transformaciones ortogonales son esencialmente la forma matemática de hablar de rotaciones (y/o reflexiones). Esta interpretación física permite ver fácilmente que debe tienen $\det(O)=\pm 1$ .

Lo especial de (ciertas) rotaciones (y/o reflexiones) en contraste con las transformaciones lineales generales es, que al aplicarlas múltiples veces, se vuelve a la transformación de identidad. Por ejemplo, girando a la izquierda cuatro veces (por $45^\circ$ ) le devuelve la orientación original. Matemáticamente, esto significa $O^n=\mathrm{Id}$ , donde $\mathrm{Id}$ es la transformación de identidad que no hace nada, y $n$ es el número de vueltas que tiene que dar para volver a estar en la orientación original. Ahora usa un poco de propiedades del determinante :

$$\det(O)^n=\det(O^n)=\det(\mathrm{Id})=1.$$

Esto nos deja sin otra opción que $\det(O)$ siendo un raíz de la unidad que sólo puede ser $\pm1$ en los números reales.

El razonamiento explicado anteriormente sólo funciona para rotaciones con ángulos $2\pi/n$ para algunos $n\in\Bbb N$ . Sin embargo, puede extenderse a rotaciones alrededor de ángulos racionales o irracionales arbitrarios.

Answer 5

Además de lo dicho: en el caso particular de que las entradas sean enteras, implica que su inversa también tiene entradas enteras.

Aparte de eso, el signo (ya sea $+$ o $-1 $ ) le indica si el mapa respeta o invierte la orientación (al igual que en la dimensión $2 $ una rotación conservaría la orientación y una simetría axial (flip), bueno, le daría la vuelta.