Vladimir Arnold en el pensamiento formal

Question

En una entrevista, Vladimir Arnold habla sobre su experiencia docente en Francia y condena el pensamiento formal de los estudiantes. Al final concluye que aunque su razonamiento es lógicamente correcto, no entienden nada. Si su deducción es correcta (como él dice), ¿qué está mal con la solución dada? ¿Qué es lo que los estudiantes no entienden (¿o en qué exactamente falla su comprensión matemática)? ¿Cómo puede uno asegurarse de "entender adecuadamente"? Él dice:

Por ejemplo, en un examen escrito en sistemas dinámicos para estudiantes de cuarto año en Paris-Dauphine, un problema era encontrar el límite de la solución de un sistema de ecuaciones hamiltonianas en el plano de fases comenzando con un punto inicial dado cuando el tiempo tiende a infinito. La idea era elegir el punto inicial en una separatriz de una silla de montar, con el límite siendo el punto de silla.

Preparando el problema del examen, cometí un error aritmético, y la curva de fase (la curva de nivel de energía que contiene el punto inicial) era un óvalo cerrado en lugar de la separatriz. Los estudiantes descubrieron esto y concluyeron que existe un tiempo finito $T$ en el cual la solución vuelve al punto inicial. Usando el teorema de unicidad, pudieron deducir que para cualquier entero $n$ el valor de la solución en el tiempo $nT$ sigue siendo el punto inicial. Luego vino la conclusión: dado que el límite en tiempo infinito coincide con el límite para cualquier subsecuencia de tiempos que tiende a infinito, ¡el límite es igual al punto inicial! Esta solución fue inventada independientemente por varios buenos estudiantes que estaban sentados en diferentes lugares en el salón de examen. En todo este razonamiento, no hay errores lógicos. Es una deducción correcta que también se puede generar por una computadora. Es evidente que los autores no entendieron nada.

Answer 1

La solución no tiene límite, por supuesto, porque la curva de fase es un óvalo cerrado.

Sin embargo, la afirmación de la pregunta asumió (erróneamente) que la solución tiene un límite. Si fuera cierto que la solución se acerca a un límite, entonces el argumento dado por estos estudiantes sería completamente correcto.

Los estudiantes deberían haber reconocido que la solución no se acerca a un límite, sino que es periódica.

Answer 2

No siendo yo misma una matemática profesional, he tenido muchos profesores expresar sentimientos similares de frustración hacia mis clases.

A pesar de que en la anécdota que Arnold proporciona sus alumnos tan solo están respondiendo a su propio error en un entorno de examen (¿qué más esperaría él que hicieran sino intentar resolver el problema dado con las herramientas que les han enseñado?), suena como si estuviera haciendo una distinción entre una persona que comprende los componentes formales que conforman una prueba, y una persona que tiene una intuición coherente del tema en su totalidad que los guiaría a los componentes formales que conforman una prueba.

Si subscribes a la Tesis de Church entonces podrías explorar los sentimientos de Arnold con el siguiente ejemplo extremo:

Consideremos el lenguaje de programación Malbolge, el cual fue inventado para ser patológico. Aunque es posible programar, y podrías crear un programa en tu computadora copiando el código de alguien más, o incluso ensamblando funciones que funcionan que otras personas han creado, no podrías después afirmar que comprendes Malbolge como podrías afirmar que comprendes Python. Tampoco podría alguien que modifica un programa de 'Hola Mundo' en Malbolge para imprimir 'Adiós Mundo' afirmar que entiende cómo Malbolge interpreta la función en su totalidad.

Esa es mi interpretación del pasaje de todos modos. Respuesta suave para una pregunta suave, espero que haya sido útil.

Answer 3

Seguramente, las respuestas de los estudiantes eran lógicamente válidas, ¿pero no lógicamente sólidas? Más experiencia con preguntas similares defectuosas les ayudaría a desarrollar el hábito de verificar todas las suposiciones iniciales en cualquier pregunta dada, y a través de este 'empirismo personal' ganar intuición. Simplemente dicho, no confíes en nada, verifica todo.

Answer 4

Él dice, en mi opinión, que una teoría debe estudiarse desde sus principales conclusiones y los problemas que permite resolver hacia atrás hasta los axiomas, es decir, haciendo abstracciones, es decir, volviendo a hacer matemáticas. La gente debería ensuciarse las manos con problemas y solo golpeándose la cabeza contra todas las dificultades del problema entenderán la verdadera adecuación de los axiomas de una teoría y al menos se pueden evitar errores ingenuos. El problema es que las principales conclusiones pueden ser muy numerosas (infinitamente muchas) o al menos mucho más numerosas que los axiomas y los teoremas que siguen de los axiomas, por lo que se necesita una gran cantidad de tiempo y fuerza de voluntad para examinarlos todos. Así que intenta incitar a los estudiantes serios a través de este tipo de comentarios provocativos.