Construya un mapeo conforme de$\Bbb C$ a$R$ si existe tal mapa. Y explica por qué si no existe.

Question

Deje $R$ ser el dominio obtenido por la eliminación de la no negativos los números reales de $\Bbb C$.

La construcción de un conformal mapping de $\Bbb C$ A $R$ si es un mapa existe. Y explicar por qué si no existe.

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Creo que el $f$ es asumido como un mapa de $\Bbb C \to R$

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Como sugerencia en la página de atrás del libro, de conformación isomorfismo y mapeo de riemann teorema debe ser utilizado.

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Pero yo no entiendo por qué tengo que usar conformación isomorfismo. Y ¿qué es la conformación isomorfismo? Por favor, explique cuándo, por qué, cómo debo utilizar xonformal isomorfismo? Y como para demostrar esta pregunta? Gracias.

Answer 1

Del Teorema de Mapeo de Riemann tenemos que$R$ simplemente está conectado y, por lo tanto, hay un mapa conforme$f:R\to \Bbb D$. Si$g:\Bbb C\to R$ un mapa conforme, entonces$fog:\Bbb C\to \Bbb D$ es un mapa conforme (holomorfo, 1-1 y surjection que se conserva mediante la composición).

Como$\Bbb D$ está delimitado y del Teorema de Liouville tenemos que$fog$ es constante, lo que significa que$f$ no es 1-1, lo cual es un error