Dos preguntas sobre la definición de$\mathcal{O}_X(U)$ para un esquema afín$X$.

Question

Deje $X=\operatorname{Spec}(A)$ ser afín esquema. Hartshorne define $$ \mathcal{S}_X(U)=\{s\colon U\a\coprod_{\mathfrak{p}\en U} A_\mathfrak{p} \mediados del s(\mathfrak{p})\en A_\mathfrak{p} \text{ y } \text{ es localmente un cociente de elementos de $A$}\} $$ para un conjunto abierto $U\subseteq X$.

He leído en un comentario a otra pregunta

         "Un elemento $f\in \mathcal{O}_X(U)$ puede ser visto como una función cuyo valor en$\mathfrak{p}\in U$$f(\mathfrak{p})\in\kappa(\mathfrak{p})$,
de modo que el codominio de $f$ es la unión de todos los residuos de los campos de $\kappa(\mathfrak{p})$."

Una $s\in \mathcal{O}_X(U)$ (con Hartshorne definición) puede ser post-compuesto por el subproducto de los mapas de $A_\mathfrak{p}\to \kappa(\mathfrak{p})$ que factor de la máxima ideal para obtener un mapa $$ f\colon U\xrightarrow{s}\coprod_{\mathfrak{p}\en U} A_\mathfrak{p}\\coprod_{\mathfrak{p}\en U} \kappa(\mathfrak{p}). $$

Es esta asignación (de $f$$s$) inyectiva? I. e. son dos $s,s'\in \mathcal{O}_X(U)$ igual si los correspondientes mapas para el co-productos del residuo de campo (es decir, el asignado $f$$f'$) son iguales? Si la respuesta es sí, el comentario sugieren que no hay una definición alternativa de $\mathcal{O}_X(U)$ $$ \mathcal{S}_X(U)=\{s\colon U\a\coprod_{\mathfrak{p}\en U} \kappa(\mathfrak{p}) \mid \text{algunas propiedades}\} ? $$

Supongamos que a partir de ahora en ese $X=\operatorname{Spec}(A)$ es un esquema integral con genéricos punto de $\xi$. Entonces uno tiene inyectiva homomorphisms $$ \mathcal{S}_X(U) \hookrightarrow \mathcal{S}_{X,\mathfrak{p}}=A_\mathfrak{p}\hookrightarrow \mathcal{S}_{X,\xi} = A_\xi = \operatorname{Frac}(A) $$ y dentro de la gran anillo de $\operatorname{Frac}(A)$ (que es un campo), se puede escribir (o "definir" si te gusta) $$ \mathcal{S}_X(U) = \bigcap_{\mathfrak{p}\en U} \mathcal{S}_{X,\mathfrak{p}} = \bigcap_{\mathfrak{p}\en U} A_\mathfrak{p}. $$

Estoy muy confundido: ¿Cómo esta última, "la definición" a través de una intersección de los locales de los anillos de $A_\mathfrak{p}$ se refieren a Hartshorne la definición de $\mathcal{O}_X(U)$, que me parece más como (un subconjunto de) una unión de los locales de los anillos de $A_\mathfrak{p}$?

Answer 1

Para responder a su primera pregunta: no, el mapa de $A \to \prod_{\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A} \kappa (\mathfrak{p})$ no es inyectiva en general.

En efecto, desde el $A / \mathfrak{p} \to \kappa (\mathfrak{p})$ es inyectiva, es suficiente con considerar el mapa de $A \to \prod_{\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A} A / \mathfrak{p}$. Claramente, el núcleo de este mapa es $\bigcap_{\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A} \mathfrak{p}$, que se ve fácilmente para contener el nilradical $\{ a \in A : \exists n \in \mathbb{N} . a^n = 0 \}$. (De hecho, son iguales). Por lo tanto, si $A$ es no reducido, a continuación, $A \to \prod_{\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A} \kappa (\mathfrak{p})$ es no inyectiva. (Por otra parte, una vez que han demostrado que $\bigcap_{\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A} \mathfrak{p}$ es, precisamente, el nilradical, se puede deducir lo contrario.)

Por el contrario, el mapa de $A \to \prod_{\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A} A_\mathfrak{p}$ siempre es inyectiva. Esto es parte de la Proposición 2.2 en [Hartshorne, Ch. II].

Para responder a su segunda pregunta: cuando $A$ es una parte integral de dominio y hemos abierto subconjuntos $U \subseteq V \subseteq \operatorname{Spec} A$,$\mathscr{O} (U) \supseteq \mathscr{O} (V) \supseteq A$. En particular, cabe esperar que los $\mathscr{O} (U)$ a ser más pequeños que los de $A_\mathfrak{p}$ cualquier $\mathfrak{p} \in U$.