¿curvatura media es rastro de la segunda forma fundamental?

Question

A mi entender fue que, a partir de la Weingarten ecuaciones, la media de la curvatura $H$ de la superficie en $\mathbb{R}^3$ satisfecho

$$2H = \operatorname{tr}(g^{-1} b),$$

donde $g$ es la primera forma fundamental (métrica de la superficie) y $b$ es la segunda forma fundamental.

Sin embargo, en Wikipedia en el artículo sobre la Media de Curvatura, encuentro la siguiente frase:

De manera más abstracta, la media de curvatura es la traza de la segunda forma fundamental dividido por n (o, equivalentemente, la forma del operador).

Lo que afirma que $$2H = \operatorname{tr}(b).$$ Que es? Son las dos expresiones que de alguna manera son iguales?

Answer 1

Son la misma cosa escrita en notación diferente - la segunda ecuación probablemente sería más claro si escriben $2 H = \mathrm{tr}_g (b)$.

Porque la segunda forma fundamental es $(0,2)$-tensor, no se tiene un seguimiento en el sentido más simple. Si usted ingenuamente anote $\mathrm{tr}(b) = \sum_i b_{ii}$, entonces usted tiene una expresión que depende del sistema de coordenadas/marco de calcular. Sin embargo, la métrica $g$ nos da una manera de tomar el rastro de cualquier tensor de una manera significativa.

La "huella con respecto a $g$" es este seguimiento, cuando se calcula en un ortonormales marco, o, equivalentemente,$$\mathrm{tr}_g(b) := \mathrm{tr}(g^{-1} b) = \sum_{i,j} g^{ij} b_{ij}.$$ Since $ g^{-1} b$ is a $(1,1)$-tensor, este seguimiento que no dependen de la ortonormales marco elegido - es una función en la superficie independiente de las coordenadas elegidas.