Usando el teorema Fundamental del cálculo "Dos veces"

Question

Encontrar $ F''(1)$

$$ F(x) = \int_1^x f(t)dt $$ $$ f(t) = \int_1^{2t} \sqrt{1+u^3} du $$

Mi trabajo:

De las miradas de él, parece que el teorema Fundamental del cálculo, dos veces.

De FTC... $F'(x) = f(x) $

En la segunda ecuación, derivar ambos lados y utilizar la regla de la cadena:

$f'(t)= d/dt*[ \int_1^{2t} \sqrt{1+u^3} du ] $

Utilizando $z=2t$

$f'(t)=d/dz[\int_1^{z} \sqrt{1+u^3} du]dz/dt $

$f'(t) = 2 * \sqrt{1+(2t)^3} $

Solo por corazonada, quiero conectar $t=1$ y resolver. ¿Representa $f'(t)$ $F''(x)$? $t$ y $x$ son variables diferentes. ¿Estoy demasiado pronto enchufar en $1$?

Answer 1

Usted no se conectar en $1$ demasiado pronto; $x, t, u$ se definen como variables independientes, pero como $F'(x)=f(x)$, del mismo modo podemos decir $f'(x)=2\sqrt{1+8x^3}$ por la regla de la FTC y la cadena.

Puede parecer extraño, puesto que $x$ y $t$ se define como variables distintas, pero ¿qué sucede cuando se reemplaza $t$ $x$ en la segunda línea? La matemática es correcta; la cuestión aquí no es conseguir mezclada para arriba por la notación variable.