Mapa del espacio de cobertura nulo-homotópico

Question

Estoy atascado con la siguiente pregunta, que parece bastante inocente.

Me gustaría demostrar que si un mapa espacial de cobertura $f:\tilde{X}\to X$ entre complejos celulares es nulo-homotópico, entonces el espacio de cobertura $\tilde{X}$ debe ser contraíble.

Desde $f$ es nulo-homotópico existe una homotopía $H_t:\tilde{X}\to X$ de $H_0=x_0$ a $H_1=f$ y me gustaría utilizarlo para construir otra homotopía $G:\tilde{X}\to \tilde{X}$ de $G_0=\tilde{x}_0$ a $G_1=Id_{\tilde{X}}$ .

Por la propiedad de elevación de homotopía, $H_t$ se eleva a una homotopía $\tilde{H}_t:\tilde{X}\rightarrow \tilde{X}$ tal que $H_t(x)=f(\tilde{H}_t(x))$ y $\tilde{H}_0(x)=\tilde{x}_0$

Así que tenemos una homotopía $\tilde{H}_t:\tilde{X}\rightarrow \tilde{X}$ de $\tilde{H}_0(x)= \tilde{x}_0$ a $\tilde{H}_1(x)$ y además $f(x)=H_1(x)=f(\tilde{H}_1(x))$ .

Si $f$ fuera inyectiva estaríamos hechos, pero en principio $\tilde{H}_1(x)$ puede ser cualquier punto de $f^{-1}(x_0)$ ¿verdad?

Answer 1

Como has dicho, se nos da una cobertura $f: \tilde X \to X$ y una homotopía $H_t : \tilde X \to X$ tal que $H_0(\tilde x)=f(\tilde x)$ y $H_1(\tilde x)=x_0$ para algunos fijos $x_0 \in X$ . Desde $\operatorname{id}_{\tilde X}$ es una elevación de $H_0=f$ hay un único ascensor $\tilde H_t : \tilde X \to \tilde X$ de la homotopía $H_t$ tal que $\tilde H_0= \operatorname{id}_{\tilde X}$ . Desde $f\circ \tilde H_1=H_1$ es una función constante y $f$ es un homeomorfismo local, $\tilde H_1$ es localmente constante. Como $\tilde X$ está conectado, $\tilde H_1$ es constante, es decir $\tilde X$ es contraíble.

Nota: Debemos asumir que $\tilde X$ está conectado. Para ver esto, considere cualquier cobertura $\tilde X= X \sqcup X \to X$ , donde $X$ es contraíble.

Answer 2

Desde $f$ es nulo-homotópico, $f_*:\pi_n(\tilde X)\to \pi_n(X)$ son triviales para todo $n$ . En consecuencia, $\pi_n(\tilde X)$ son todos triviales. El teorema de Whitehead implica $\tilde X$ es contraíble.