Demuestre que, si$g(x)$ es cóncavo, para$S = {x : g(x) > 0}$,$f(x) = 1/g(x)$ es convexo sobre$S$.

Question

Usando las definiciones de convexidad y concavidad, necesito mostrar lo siguiente:

$$g(ax + (1-a)y)\geq ag(x) + (1-a)g(y),\ \ a \in (0, 1)$ $ implica que$$f(ax + (1-a)y) \leq af(x) + (1-a)f(y)\ , a \in (0, 1)\ .$ $

Probé todas las manipulaciones algebraicas que pude obtener sin éxito.

Si asumiera que$f$ y$g$ son ambos diferenciables dos veces, es fácil mostrar que la segunda derivada parcial de$f(x)$ wrt$x$ no es negativa, y por lo tanto,$f(x)$ es convexo. Sin embargo, me gustaría probarlo usando la definición formal de convexidad.

Answer 1

Deje $0 < a < b < 1$. Por la concavidad de $g(x)$, en el gráfico de $g(x)$ $(a,g(a))$ $(b,g(b))$ se encuentra en o por encima de la línea de segmento que conecta $(a,g(a))$$(b,g(b))$. Desde $g(a), g(b) > 0$, este segmento de línea que se encuentra por encima de la $x$-eje.

Escribir la ecuación de esta línea como $y(x) = cx + d$. Tomando recíprocos, vemos que $${d^2 \over dx^2} \bigg({1 \over y(x)}\bigg) = {2c^2 \over (cx + d)^3}$$ Desde $y(x) > 0$$x = a$$x = b$, llegamos a la conclusión de que para $a < x < b$ uno tiene $${d^2 \over dx^2} \bigg({1 \over y(x)}\bigg) > 0$$ En otras palabras, ${1 \over y(x)}$ es convexa entre el$x = a$$x = b$. De manera que la gráfica de ${1 \over y(x)}$ se encuentra en o por debajo de la línea de segmento que conecta $(a, f(a))$$(b, f(b))$.

Desde la gráfica de $g(x)$ $(a,g(a))$ $(b,g(b))$ se encuentra en o por encima de la línea de segmento que conecta $(a,g(a))$$(b,g(b))$, en el gráfico de $f(x) = {1 \over g(x)}$ $(a, f(a))$ $(b, f(b))$ se encuentra en o por debajo de la porción de la gráfica de ${1 \over y(x)}$$x =a$$x = b$, el cual se vio mentiras en o por debajo de la línea de segmento que conecta $(a, f(a))$$(b, f(b))$. De manera que la gráfica de $f(x) = {1 \over g(x)}$ $(a, f(a))$ $(b, f(b))$ se encuentra en o por debajo de la línea de segmento que conecta $(a, f(a))$$(b, f(b))$. Por lo tanto $f(x)$ es convexa.

Answer 2

Aquí hay una forma de hacerlo: $$ \begin{align} 1 &= (a+(1-a))^2 \\ &= a^2 + 2a(1-a) + (1-a)^2 \\ &\le a^2 + a(1-a)\left(\frac{g(x)}{g(y)} + \frac{g(y)}{g(x)}\right) + (1-a)^2 \\ &= (ag(x)+(1-a)g(y)) \left(\frac{a}{g(x)} + \frac{1-a}{g(y)}\right) \\ &\le g(ax+(1-a)y) \left(\frac{a}{g(x)} + \frac{1-a}{g(y)}\right) \\ &= \frac{af(x) + (1-a)f(y)}{f(ax+(1-a)y)} \end {align} $$

La primera desigualdad se justifica por el hecho de que$2 \le \frac{g(x)}{g(y)} + \frac{g(y)}{g(x)}$. Puedes probar esto usando la desigualdad AM-GM.