Es $\mathbb R^2$ ¿un campo?

Question

Soy nuevo en este mundo tan interesante de las matemáticas, y estoy intentando aprender algo de álgebra lineal de Khan academy.

En el mundo de los espacios y campos vectoriales, sigo encontrando la definición de $\mathbb R^2$ como un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb R$ .

Esto me hace pensar, ¿Por qué no puede $\mathbb R^2$ ¿es un campo propio? ¿Haría eso que $\mathbb R^2$ un campo y un espacio vectorial?

Gracias

Answer 1

Si se define:

$$(a,b)+(x,y):=(a+x,b+y)$$

$$(a,b)\cdot (x,y):=(ax-by,ay+bx)$$

entonces el conjunto $\,\Bbb R^2=\Bbb R\times\Bbb R\,$ se convierte en un campo, y uno bastante conocido e importante. ¿Puede identificarlo?

Answer 2

Es importante entender que un conjunto por sí mismo no tiene estructura algebraica. Al definir los operadores sobre $\mathbb{R}^2$ puedes convertirlo en (casi) todo lo que quieras.

Los operadores naturales de $\mathbb{R}^2$ , a saber $(x, y) + (a, b) \mapsto (x+a, y+b)$ y $(x, y) \cdot (a, b) \mapsto (x\cdot a, y\cdot b)$ no definen un campo como $(0, 1)$ no tiene inversa multiplicativa.

Answer 3

Normalmente en matemáticas se definen estas estructuras como tuplas

Un campo es un triple $(K,+,\cdot)$ tal que $K$ es un conjunto y [...] y $\cdot:K \times K \rightarrow K$

Un espacio vectorial es un triple $(V,+,\cdot)$ tal que $V$ es un conjunto y [...] y $\cdot: K \times V \rightarrow V$

Así que tu pregunta no tiene sentido: Un conjunto (digamos $\mathbb R^2$ ) no puede ser un campo ni un espacio vectorial ni un grupo ni nada - sólo si se añade alguna estructura adicional (la mayoría de las veces operaciones) se puede hacer esta pregunta.

Por ejemplo $\mathbb R^2$ puede ser el conjunto utilizado en la definición de un campo, así como el conjunto subyacente utilizado en la definición de un espacio vectorial. Y estamos contentos, la operación de adición $$+:\mathbb R^2 \times \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2$$ es la misma, y la multiplicación para "la" estructura del espacio vectorial $$\mathbb R \times \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2$$ es "compatible" con la multiplicación para "la" estructura de campo $$\mathbb R^2 \times \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2$$

Answer 4

Añadiendo a la respuesta anterior. Con la multiplicación exterior habitual del $\mathbb{R}-\{0\}$ como un anillo con la adición y multiplicación natural no se puede hacer un campo de $\mathbb{R}^{2}-(0,0)$ \ Pero pueden existir otros productos como el de las respuestas que pueden hacer un campo de ${\mathbb{R}\times\mathbb{R}}-\{ 0\}$ \ Según uno de los teoremas de la teoría de campos, todo campo es un dominio integral. Así que considerando : ${\mathbb{R}\times\mathbb{R}}-\{ 0\}$ Con el siguiente producto natural: $(A,B)*(C,D)=(AB,CD)$ Vemos que $(1,0)*(0,1)=(0,0)$ Lo que significa que $\mathbb{R}^{2}$ no es un dominio integral y por tanto no es un campo.