Es cada espacio vectorial normado, un espacio de producto interno

Question

Permita que$V$ sea un espacio vectorial sobre$\mathbb{C}$. Si$V$ es un espacio de producto interno, entonces$V$ está normado (donde la norma se define como$\|x\|=\sqrt{(x,x)}\,\,$). Ahora bien, si$V$ está normada, ¿se deduce que$V$ es un espacio de producto interno? Sospecho que no. Me gustaría ver un ejemplo.

Gracias.

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Después de leer mi pregunta nuevamente, creo que necesita alguna aclaración:

Supongamos que$V$ está normado con la norma$||\,||$. ¿Puede el$V$ tener una estructura interna del espacio del producto tal que$(x,x)=||x||^2$?

Answer 1

Para un ejemplo de una norma que no es inducida por un producto interno, considere el espacio euclidiano$\Bbb R^n$ (donde$n\ge 2$) con la norma$$\lVert \vec x\rVert_1:=\sum_{k=1}^n |x_k|.$ $

Answer 2

Los espacios de productos internos satisfacen la ley del paralelogramo .

Si puede encontrar un contraejemplo a la ley de paralelismo en un espacio con la norma suprema, entonces ha encontrado un espacio lineal normado que no es un espacio de producto interno.

Aún más interesante, los espacios de productos internos son los ÚNICOS espacios de vectores normativos que satisfacen la ley del paralelogramo.

Answer 3

Espacios vectoriales normados con un producto interno son, en realidad, bastante raro. Por ejemplo es normado por $L^p(X)$ $ % los $$\Vert f\Vert_p := \left( \int_X |f|^p d\mu \right)^{\frac 1 p}$$1\leq p