¿Todo número es descriptible?

Question

A grandes rasgos, un número es descriptible si puede definirse de forma inequívoca mediante una cadena finita sobre un alfabeto finito. Números como $\frac{1}{3}$ , $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}$ y "la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo" son números descriptibles. Se puede demostrar que el conjunto de todos esos números es contable.

Dejemos que $U$ sea el conjunto de los números reales indescriptibles. Yo "afirmo" $U$ es vacío, por lo que todo número real es descriptible. Supongamos lo contrario. Coloca un orden de pozo en $U$ (esto se puede hacer asumiendo el Axioma de la Elección). El menor elemento $u$ de $U$ admite la descripción "el menor elemento de $U$ según el orden del pozo especificado", contradiciendo la indescriptibilidad de $u$ .

Obviamente, algo ha ido mal aquí. Sospecho que se trata de una combinación de mi definición poco precisa de la descriptibilidad y mi "descripción" autorreferencial de $u$ . Mi pregunta (un poco abierta) es "¿Qué pasa aquí?".

P.D. Hay un entrada del blog abordando algo bastante parecido a mi pregunta. Según tengo entendido, la respuesta del autor es "la descripción dada no es realmente una descripción". Si es así, me gustaría que me lo explicara.

Answer 1

Pero no describió el buen orden de $U$ . Se limitó a describir el hecho de que existe.

Has ampliado tu lenguaje, y esto te ha permitido describir otro conjunto contable de números. Por desgracia, repetir el argumento hasta el cansancio $U$ requeriría un número incontable de iteraciones, y en ese momento el lenguaje ya no es finito.

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Permítanme hacer una analogía un poco más avanzada. Se podría argumentar que en $L$ (universo construible de Godel) todo es definible, incluyendo el buen ordenamiento de $\mathbb R$ . Recordemos que GCH se mantiene en $L$ y para todo contable $\alpha$ hay nuevos números reales añadidos en $L_\alpha$ por lo que la construcción del número real no se agota hasta $L_{\omega_1}$ .

Pero en la construcción de $L$ permitimos que se utilicen los parámetros que se construyeron previamente. Esto nos permite ampliar nuestro lenguaje, por así decirlo, y con ello generar otro conjunto contable de números reales. Para agotar toda la colección de números reales tuvimos que llegar a $L_{\omega_1}$ Es decir, tuvimos que hacer incontables pasos. Así que ninguna iteración contable lo cubría todo.

Answer 2

Además del problema con el axioma de elección que posiblemente le da un ordenamiento de pozo indefinible, todavía existe el problema habitual de que "inequívocamente definido por una cadena finita sobre un alfabeto finito" no logra definir un set de números reales. El axioma de existencia de conjuntos en la teoría de conjuntos sólo permite formar un conjunto de números reales si el conjunto es definible mediante una fórmula de la teoría de conjuntos. La frase citada no puede, de hecho, ser expresada por una fórmula de la teoría de conjuntos.

Hay una respuesta muy completa de Joel David Hamkins en aquí que explica la situación con más detalle.

Answer 3

El problema está en su descripción "el menor elemento de $U$ según el orden del pozo especificado". De hecho, no tiene un especificado Después de todo, se necesitaba el axioma de elección incluso para demostrar que dicho orden existe. Dado que no se especifica el buen orden, no se está describiendo un elemento concreto de $U$ En otras palabras, su descripción no es realmente una descripción.

En realidad, sospecho que con el debido cuidado su argumento podría convertirse en una prueba de que $U$ no puede estar bien ordenado sin usar el Axioma de Elección (ya que tu argumento muestra que no hay un buen ordenamiento construible).