La continuidad de Lipschitz y Hölder ayuda a la convergencia de las series de Fourier

Question

Sea $f$ satisface $$|f(x+u) - f(x)|\leq L|u|^{\alpha}$$

para algunas constantes $L$ y $\alpha$ . Si $\alpha = 1$ puis $f$ se denomina continua de Lipschitz, y si $0 < \alpha < 1$ puis $f$ es continua de Hölder. Demuestre que si $f$ es $2\pi$ -periódica y Lipschitz o Hölder continua, entonces su serie de Fourier converge a $f(x)$ para cada $x$ .

Answer 1

Sea $$D_N(t)=\frac{1}{2\,\pi}\,\frac{\sin(N+1/2)t}{\sin(t/2)}$$ sea el núcleo de Dirichlet, y sea $$S_N(f;x)=\sum_{k=-N}^N\hat f(k)e^{ikx}=\int_{-\pi}^{\pi}D_N(t)f(x-t)\,dt$$ sea el $N$ -ésima suma parcial de la serie de Fourier de $f$ . Entonces, para todo $x\in[-\pi,\pi]$ $$S_N(f,x)-f(x)=\int_{-\pi}^{\pi}D_N(t)(f(x-t)-f(x))\,dt=\int_{-\pi}^{\pi}\sin\frac{(2\,N+1)t}{2}h(t)\,dt$$ donde $$h(t)=\frac{f(x-t)-f(x)}{\sin(t/2)}\;.$$ Desde $f$ es continua de Hölder de orden $\alpha$ se deduce que $|h(t)|\le Ct^{-1+\alpha}$ para alguna constante $C>0$ . En particular, $h$ es integrable en $[-\pi,\pi]$ . La prueba se termina aplicando el lema de Riemann-Lebesgue.

Cabe señalar que su problema es un caso particular del criterio de convergencia de Dini.

Answer 2

Un teorema clásico dice que si $f\in Lip(\alpha)$ para algunos $\alpha$ con $\alpha>1/2$ entonces la serie de Fourier de $f$ pertenece al álgebra de Wiener (es decir $\sum|\hat{f}(n)|< \infty$ ).

La prueba se encuentra en el libro de Katznelson Introducción al análisis armónico . Ver también Condición de Hölder , Convergencia de las series de Fourier y Álgebra de Wiener .