Gráfico de morfismos por separado de morfismos de los esquemas de

Question

Quiero probar lo siguiente: Deje $f: X \rightarrow S$ ser separados de morfismos de esquemas. Demostrar que cualquier sección de $g: S \rightarrow X$ $f$ es decir, un morfismos tal que $f \circ g=\textrm{id}_{S}$ es un cerrado de inmersión.

Parece que esto se puede hacer mediante la consideración de un gráfico adecuado de morfismos. Aquí es lo que tengo hasta ahora:

Tomando $X$ $S$- esquema bajo el $f$, tenemos que una sección de $f$ es simplemente $g: S \rightarrow X$. Consideremos $\Gamma_{g}:S \rightarrow S \times_{S} X$, que es un local cerrado de inmersión, y un cerrado de inmersión ya que tenemos que $X$ está separado. A continuación, $\Gamma_{g}$ es canónicamente identificado con $g$ en esta situación. Es que todo lo que se requiere aquí?

Answer 1

Sí funciona esto. Un poco más detallado: Si $T \to X$ es una de morfismos de $S$-planes y $X$ es separado, sobre la $S$, entonces la gráfica de morfismos $T \to T \times_S X$ es un cerrado de inmersión desde el siguiente diagrama cartesiano:

$$\begin{array}{c} T & \rightarrow & T \times_S X \\ \downarrow && \downarrow \\X & \rightarrow & X \times_S X \end{array}$$

Aplicando esto a $T=S$, obtenemos el resultado deseado que cada sección de $X \to S$ es un cerrado de inmersión.