Determinante usando el teorema de factor

Question

Probar $$\Delta=\begin{vmatrix} (y+z)^2 & x^2 & x^2 \\ y^2 & (z+x)^2 & y^2 \\ z^2 & z^2 & (x+y)^2 \\ \end{vmatrix} = 2xyz(x+y+z)^3$$ usando el teorema de factor.

Esto se soluciona en Demostrar el uso determinante de las propiedades que el determinante de a es igual a $2abc(a+b+c)^3$ usando el teorema de factor.

Mi Intento:

$$ x=0\text{ o }y=0\text{ o }z=0\implica\Delta=0\text{ , por Lo $x,y,z$ son factores de }\Delta.\\ (x+y+z)=0\implica \Delta=\begin{vmatrix}x^2&x^2&x^2\\y^2&y^2&y^2\\z^2&z^2&z^2\end{vmatrix}=0\text{ , por Lo $(x+y+z)$ es un factor de $\Delta$.} $$ $\color{black}{\text{But how do i extract the remaining term $(x+y+z)^2$ to prove $\Delta=2xyz(x+y+z)^3$ }\color{red}{ ?}}$

Ejemplo Similar:

Por favor marque la respuesta de @user348749 en Cómo resolver este determinante, $$ \Delta'=\begin{vmatrix} (b+c)^2&ab&ca\\ ab&(a+c)^2&bc\\ ac&bc&(a+b)^2 \end{vmatrix}=2abc(a+b+c)^3 $$ se dice que $$ (a+b+c)=0\implica\Delta'=\begin{align*} \begin{vmatrix} c^2 & ca & bc \\ ca & a^2 & ab \\ bc & ab & b^2 \\ \end{vmatrix} =abc\begin{vmatrix} c & a & b \\ c & a & b \\ c & a & b \\ \end{vmatrix} \end{align*}=0 $$ "Desde todas las filas son idénticos, $(a+b+c)^2$ es un factor. El determinante es un polinomio de grado 6 y por lo tanto el resto de los factor es lineal y puesto que es simétrica, el factor debe ser $k(a+b+c)$."

$\color{black}{\text{How can we say this }\color{red}{ ?}}$

A Mi Entender:

Si el problema era similar a esto, la respuesta de @, Saibal en Factorise una matriz utilizando el teorema de factor, $$\Delta"= \begin{vmatrix} x&y&z\\ x^2&y^2&z^2\\ x^3&y^3&z^3\\ \end{vmatrix}$$ Yo podría, sin duda, hacer de la siguiente manera: $$ x=0\text{ o }y=0\text{ o }z=0\implica\Delta=0\\ x=y\text{ o }y=z\text{ o }z=x\implica\Delta=0 $$ Por lo tanto, $x,y,z,(x-y),(y-z),(z-x)$ son factores de $\Delta''$. es decir. $\Delta''=kxyz(x-y)(y-z)(z-x)$

Answer 1

Su intento es buena. Y todas las explicaciones adicionales que necesita ya están dadas por user348749 en Cómo resolver este determinante Me podría reformular esta aquí: Puesto que para $x+y+z=0$, las tres columnas son idénticos (mismo argumento como las tres filas de asientos), $(x+y+z)^2$ es un factor (ver user348749 la explicación). Así que el resto factor es lineal. Desde $\Delta$ no cambia en $x \leftrightarrow y$ o cualquier otra permutación, el resto lineal factor debe ser simétrico en virtud de estos intercambios, y sólo $C \cdot (x+y+z)$ es un factor. De nuevo, no mis argumentos tan lejos, pero user348749.

Lo que queda por hacer es calcular la constante. Elija por ejemplo, $x=y=z=1$ y se obtiene $$ \Delta=\begin{vmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \\ \end{vmatrix} = 4\cdot 15 - 2\cdot 3 =54 = C \cdot 3^3 = C \cdot 27 $$ en el que claramente se da a $C =2$.