$S_5$ no actúa transitivamente sobre $\{1,2,3\}$?

Question

He visto una declaración: vamos a $S_n$ act transitivamente en un conjunto con $m$ elementos. A continuación, $m\leq 2$ o $n \leq m$. Yo era capaz de demostrarlo, así que me lo creo. Sin embargo, esto me parece sorprendentemente intuitivo. Por ejemplo, $S_5$ contiene $S_3$, que actúa transitivamente sobre $\{1,2,3\}$, por lo que no $S_5$ también actúan de manera transitiva? Donde está el hueco en mi lógica aquí?

$\textbf{Edit:}$ Alguien puede darme un ejemplo no trivial de la acción de $S_5$ $\{1,2,3\}$ que no es transitiva?

Answer 1

Sería necesario ampliar la acton de $S_3$ $\{1, 2, 3\}$ a una acción de $S_5$$\{1, 2, 3\}$, es decir, sería necesario ampliar la identidad de $\mathrm{id} \colon S_3 \to S_3$ a un grupo epimorphism $p \colon S_5 \to S_3$. Esto no es posible.

Más en general, no existe ningún grupo de epimorphism $p \colon S_n \to S_m$ si $n \geq 5$ $n \neq m > 2$ porque $A_n$ es la única adecuada trivial normal subgrupo de $S_n$. Entonces tendríamos $\ker p = \{1\}$, y contradiciendo $n \neq m$ o $\ker p = A_n$, contradiciendo $m \neq 2$ o $\ker p = S_n$, contradiciendo $m \neq 1$.

PS: Como podemos ver a partir de este argumento hay exactamente cuatro acciones de $S_5$$\{1,2,3\}$, clasificados por el grupo homomorphisms $p \colon S_5 \to S_3$. El caso de $\ker p = S_5$ corresponde a la trivial acción. Si $\ker p = A_5$$\mathrm{im} \ p \cong S_2$, por lo que tenemos tres acciones, correspondientes a los tres transposiciones de $S_5$: Lo que soluciona alguno de los tres elementos y deje $S_5$ swap de los otros dos donde $A_5$ no hace nada.

Answer 2

Argumento estándar (arriba) es a través de la acción del grupo y homomorphism. Aquí es un poco diferente:

supongamos $S_5$ actúa en $\{1,2,3\}$ transitivamente. A continuación,$|S_5|=|\mathrm{Orbit}(i)|.|\mathrm{Stab}(i)|=3.|\mathrm{Stab}(i)|$, por lo tanto $\mathrm{Stab}(i)$ es subgrupo de índice$3$$S_5$, por lo que su fin es $40$. En el grupo de orden $40$, Sylow-$5$ subgrupo es normal, es decir, normalizador de Sylow-$5$ subgrupo en $S_5$ contiene $\mathrm{Stab}(i)$. Así, el índice de normalizador en $S_5$ de Sylow-$5$ subgrupo es $\leq 3$, es decir, el número de Sylow-$5$ subgrupos en $S_5$$\leq 3$, contradicción (es $6$).