Probabilidad de que la división de una baraja de cartas en 4 iguales montones, cada uno que contiene un as

Question

Después de la división de una baraja de cartas en 4 de igual tamaño pilas, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente un as en cada montón? He tenido un par de ideas acerca de cómo configurar este problema, pero nada parece salir correctamente. Por ejemplo, puedo ver las probabilidades de que cada pila tiene un solo ace y esta configurado como una multiplicación de las probabilidades condicionales. También se me ocurrió que yo podía ver los eventos como (en el caso de que un As de Espadas y el As de Corazones en diferentes montones), (en el caso de que As de Picas, Diamantes, Corazones y están en diferentes montones), y (en el caso de que todos los ases en diferentes montones). Sin embargo, estoy teniendo un tiempo difícil incluso de determinar lo que la primera de estas probabilidades debe ser.

Es correcto que la probabilidad de que la primera pila tener un as es $\dfrac{\binom{4}{1}\binom{48}{12}}{\binom{52}{13}}$? Ha sido un tiempo desde que he hecho de la probabilidad, así que estoy teniendo un poco de problemas para empezar, aunque sé que al final me voy a multiplicar un número de probabilidades condicionales juntos.

Answer 1

El as de espadas siempre (con probabilidad 1) entra en una pila.

Después de encontrar espadas, ¿cuál es la probabilidad de que el as de corazones va en una diferente desde el uno de espadas? Debe ser $\frac{3\times 13}{51}$.

Ahora suponiendo que picas y corazones aterrizó en diferentes montones, la probabilidad de que los diamantes para terminar en un todavía-no utilizado de la pila es $\frac{2\times 13}{50}$.

Finalmente, el as de tréboles llegará el resto de la pila con una probabilidad de $\frac{13}{49}$. Multiplicar todo juntos y tenemos

$$ 1\times\frac{3\times 13}{51}\times\frac{2\times 13}{50}\times\frac{13}{49} = \frac{4! \times 13^4 \times (52-4)!}{52!} $$

(Este resultado también puede ser justificado por el recuento de posibilidades, hay un factor $4!$ a decidir que ace va de la mano con la que, cuatro factores de $13$ a decidir donde en cada mano cada una de las ace se va, y un factor de $(52-4)$ a colocar todos los de la no-ases después. A continuación, dividir todo por $52!$, el número total de ordenada cubiertas).

Answer 2

Usted no necesita probabilidades condicionales: usted puede contar con el éxito de las divisiones a la vez. Imaginar la construcción de una división a mano. Primero coloque los cuatro ases para iniciar las pilas; no se $4!$ maneras diferentes de hacer esto. Ahora tienes que añadir a $12$ más tarjetas para el primer ace; en cuántas maneras se puede elegir los $12$ tarjetas de la $48$ que permanecen en su mano? Entonces usted tiene que elegir $12$ restante de los $36$ tarjetas para ir con la segunda ace. Y así sucesivamente. Cuando usted finalmente ha conseguido el recuento de éxito de las divisiones, por supuesto, usted tiene que dividir por el número total de posibles divisiones en cuatro igualdad de pilotes con el fin de obtener la probabilidad. El cálculo de que el número total es muy similar al cálculo que acabo de describir, excepto que usted no tiene que preocuparse acerca de cualquier cuidados especiales.

Nota: he asumido que el orden en que las pilas se colocan en la tabla de materias. Si no, hay effectivly sólo una manera de colocar los cuatro ases en la mesa, para empezar.