Deje $\phi,\psi:\mathscr{F}\rightarrow\mathscr{G}$ ser morfismos de poleas en $X$ con valores en una categoría $\mathbf{C}$. Supongamos que $\mathbf{C}$ es lo suficientemente bueno para tener los productos, ecualizadores, etc. Es cierto que si $\phi_x=\psi_x:\mathscr{F}_x\rightarrow\mathscr{G}_x\ \forall x\in X$,$\phi=\psi$ ? La prueba de esto es fácil en una concreta categoría, pero no parece tan fácil de hacer que sin el uso de elementos de conjuntos y en lugar de usar las cosas como ecualizadores, en términos de que gavilla se define (Wikipedia).
Respuesta
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Aleksandr Levchuk
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En primer lugar, con el fin de hacer sentido de la gavilla condición, debemos asumir que la categoría de $\mathcal{C}$ tiene suficiente límites; por simplicidad asumimos $\mathcal{C}$ tiene todos los límites. A continuación, para hacer sentido de los tallos, debemos asumir que $\mathcal{C}$ tiene suficiente filtrada colimits; por simplicidad asumimos $\mathcal{C}$ ha colimits para todos los pequeños de filtrado de diagramas.
Escribir $\textbf{Sh}(X; \mathcal{C})$ para la categoría de $\mathcal{C}$valores de las poleas en $X$. La condición fundamental es la siguiente:
- Una de morfismos $\phi : \mathscr{F} \to \mathscr{G}$ $\textbf{Sh}(X; \mathcal{C})$ es un isomorfismo si y sólo si el tallo $\phi_x : \mathscr{F}_x \to \mathscr{G}_x$ es un isomorfismo para todos los puntos de $x$$X$.
Si $\mathcal{C} = \textbf{Set}$, esto es sólo el hecho de que el topos $\textbf{Sh}(X)$ tiene bastantes puntos. Esta propiedad es absolutamente esencial para hacer algo útil con los tallos.
Lema. El functor $x^* : \textbf{Sh}(X; \mathcal{C}) \to \mathcal{C}$ que envía una gavilla $\mathscr{F}$ a su tallo $\mathscr{F}_x$ tiene un derecho adjuntos.
Prueba. La costumbre de la construcción de los rascacielos de la gavilla va sin problemas. ◼
Lema. Deje $\textbf{Psh}(X; \mathcal{C})$ ser la categoría de $\mathcal{C}$valores de presheaves en $X$.
- Los límites de la pequeña diagramas en $\textbf{Psh}(X; \mathcal{C})$ existen y pueden ser calculadas de las componentes.
- $\textbf{Sh}(X; \mathcal{C})$ es cerrado bajo los límites de los pequeños en $\textbf{Psh}(X; \mathcal{C})$.
Prueba. La primera afirmación es abstracto estándar tontería, y que la segunda afirmación es esencialmente una consecuencia del hecho de que los límites de preservar los límites. ◼
La proposición. Deje $\phi, \psi : \mathscr{F} \to \mathscr{G}$ ser un par de paralelas morfismos en $\textbf{Sh}(X; \mathcal{C})$. Supongamos que al menos una de las siguientes condiciones se tiene:
- Filtrado colimits en $\mathcal{C}$ preservar sintonizadores.
- $\textbf{Sh}(X; \mathcal{C})$ ha coequalisers.
A continuación, los siguientes son equivalentes:
- $\phi = \psi$.
- $\phi_x = \psi_x$ para todos los puntos de $x$$X$.
Prueba. Si $\phi = \psi$, entonces obviamente $\phi_x = \psi_x$ todos los $x$. Por el contrario, supongamos $\phi_x = \psi_x$ todos los $x$. Hay dos casos:
Suponga $\mathcal{C}$ ha coequalisers. Deje $\theta : \mathscr{G} \to \mathscr{H}$ ser el coequaliser de $\phi$$\psi$; a la izquierda adjoints siempre preservar coequalisers, por lo $\theta_x$ es el coequaliser de $\phi_x$$\psi_x$. Desde $\phi_x = \psi_x$, $\theta_x$ es un isomorfismo; pero esto es cierto para todos los $x$, lo $\theta$ también es un isomorfismo, por nuestra suposición sobre la $\textbf{Sh}(X; \mathcal{C})$. Por lo tanto $\phi = \psi$.
Supongamos, en cambio, que filtra colimits en $\mathcal{C}$ preservar sintonizadores. Sintonizadores existen en $\textbf{Sh}(X; \mathcal{C})$ y se calculan las componentes, por lo que esto significa $x^*$ conserva. El resto del argumento es básicamente el mismo. ◼
Por supuesto, la verdadera pregunta es, ¿cuándo $\textbf{Sh}(X; \mathcal{C})$ tiene suficientes puntos? Esta es en realidad bastante complicado y no veo un buen argumento general. Aquí está uno que funciona, pero es un poco restrictivo.
La proposición. Deje $\mathcal{C}$ ser localmente finitely-presentable (l.f.p.) categoría. Entonces:
- Filtrado colimits en $\mathcal{C}$ preservar límites finitos.
- $\textbf{Sh}(X; \mathcal{C})$ tiene bastantes puntos.
Prueba. Tanto las reclamaciones que básicamente se reducen a la representación teorema de l.f.p. categorías: existe una pequeña categoría $\mathcal{A}$ y totalmente fieles functor $N : \mathcal{C} \to [\mathcal{A}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ que conserva filtrada colimits y ha dejado adjunto. No es, pues, plenamente fiel functor $\textbf{Sh}(X; \mathcal{C}) \to \textbf{Sh}(X; [\mathcal{A}^\textrm{op}, \textbf{Set}])$ obtenido por la aplicación de $N$ de las componentes, y no es difícil comprobar que $\textbf{Sh}(X; [\mathcal{A}^\textrm{op}, \textbf{Set}])$ $[\mathcal{A}^\textrm{op}, \textbf{Sh}(X)]$ son equivalentes como categorías. Ahora, el hecho de que $N$ conserva filtrada colimits significa que el tallo functors encajar en un diagrama conmutativo $$\begin{array}{rcl} \textbf{Sh}(X; \mathcal{C}) & \rightarrow & \mathcal{C} \\ \downarrow & & \downarrow \\ [\mathcal{A}^\textrm{op}, \textbf{Sh}(X)] & \rightarrow & [\mathcal{A}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \end{array}$$ y así, en última instancia, todo se reduce al hecho de que $\textbf{Sh}(X)$ tiene bastantes puntos.
