Poner la fracción en forma "arctánica"

Question

Me gustaría poner $\int\frac{1}{(2x^2+x+1)}dx$ en algo como $\int\frac{1}{(u^2+1)}dx$ . ¿Cuál es la forma más rápida de proceder? Sé que la fracción anterior se puede reescribir como $2t^2+t+1 = \frac{7}{8}\left( \left( \frac{4t+1}{\sqrt{7}} \right)^2 +1 \right)$ pero no tengo ninguna explicación de dónde viene esto.

Finalmente, la integral da como resultado $$\int_b^a \frac{7}{8} \left( \left(\frac{4t+1}{\sqrt{7}} \right)^2+1 \right)dt = \frac{2}{\sqrt{7}}\left[\arctan \left(\frac{4t+1}{\sqrt{7}}\right)\right]^a_b $$

Answer 1

Tenga en cuenta que $$(ax+b)^2=a^2x^2+2abx+b^2$$ Ahora queremos completar el cuadrado en $2x^2+x+1$ . Entonces tenemos $a^2=2, 2ab=1 $ $\implies 4a^2b^2=1 \implies b^2=\frac 1 8$ . Así, escribimos $$2x^2+x+1 = \left(2x^2+x+\frac 1 8\right)+\frac 7 8 = \left(\sqrt 2 x+\frac{1}{2\sqrt 2}\right)^2+\frac 7 8$$ Por lo tanto, dejar que $\sqrt2 x+\frac{1}{2\sqrt 2}=\sqrt{\frac 7 8}\tan\theta$ nuestra integral se convierte en $$\int \frac{1}{\frac 7 8 \tan^2 \theta+\frac 7 8}\cdot \frac {\sqrt{7}} 4\sec^2\theta d\theta$$

Answer 2

Multiplica el numerador y el denominador por $4\cdot 2=8$ (el $2$ es el coeficiente de $x^2$ ) y "completar el cuadrado": $$ \frac{1}{2x^2+x+1}= \frac{8}{16x^2+8x+8}= \frac{8}{16x^2+8x+1+7}= \frac{8}{(4x+1)^2+7} $$ Ahora ya sabes que debes poner $4x+1=u\sqrt{7}$ , por lo que se obtiene $$ \frac{8}{7}\frac{1}{u^2+1} $$ Además, $4\,dx=\sqrt{7}\,du$ y la integral se convierte en $$ \int\frac{8}{7}\frac{1}{u^2+1}\frac{\sqrt{7}}{4}\,du= \frac{2}{\sqrt{7}}\int\frac{1}{u^2+1}\,du= \frac{2}{\sqrt{7}}\arctan u+c= \frac{2}{\sqrt{7}}\arctan\left(\frac{4x+1}{\sqrt{7}}\right)+c$$