Dejemos que $\tau$ , $\sigma$ y $\sigma'$ denotan fórmulas en algún lenguaje de interés, y supongamos que queremos demostrar que $$\tau \wedge \sigma \iff \tau \wedge \sigma'.$$
Entonces, obviamente, basta con demostrar que $$\sigma \iff \sigma',$$
y además, podemos utilizar $\tau$ en nuestra prueba de la equivalencia anterior. En otras palabras, basta con demostrar que
$$\tau \implies (\sigma \iff \sigma')$$
que es una afirmación más débil.
Del mismo modo, supongamos que queremos demostrar que
$$\tau \vee \sigma \iff \tau \vee \sigma'.$$
Una vez más, basta con demostrar que $$\sigma \iff \sigma',$$
y esta vez, también podemos utilizar $\neg \tau$ para demostrar la equivalencia anterior. En otras palabras, basta con demostrar que
$$\neg \tau \implies (\sigma \iff \sigma')$$
que es más débil.
Mi pregunta es la siguiente.
Supongamos que tenemos una fórmula complicada $\phi$ de la lógica proposicional, o mejor aún, de la lógica de predicados. Queremos sustituir una subfórmula $\sigma$ de $\phi$ con otra fórmula $\sigma'$ , de manera que la fórmula resultante $\phi'$ equivale a $\phi.$ Claramente, si podemos mostrar $\sigma \iff \sigma'$ entonces podemos estar seguros de que $\phi \iff \phi'$ . Mi pregunta es, ¿qué supuestos adicionales podemos utilizar para demostrar $\sigma \iff \sigma'$ de tal manera que es seguro concluir que $\phi \iff \phi'$ ?
